Основное правило комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Бином Ньютона

Комбинаторика – это теория конечных множеств. Основное правило – правило умножения. Пример: нужно совершить путешествие из пункта А в Б, а потом в С. Из а в Б можно попасть 4 способами, а из Б в С только 2. Следовательно, кол-во маршрутов из А в С равно 8. Основное правило умножения: пусть требуется выполнить одно за другим ‘k’ действий. Пусть первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами и … nk способами. Тогда все k действий можно выполнить n1*n2*…*nk способами. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (например, номер элемента с 1, 2, … , до n). Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, т.е. получены из того же самого множества, называются перестановками этого множества и обозначаются pn=n!. Упорядоченные k элементные подмножества, состоящие из n элементов, называются размещениями. Факториал n! – это произведение n натуральных чисел по основной формуле: n!=(n-1)!*n. Например, 0!=1, 1!=1. Произвольное m-элементное подмножество элементного множества n называется сочетанием из n элементов по m и обозначается С. При подсчете числа сочетаний важно: 1) число элементов m подмножества; 2) различие как минимум у двух подмножеств в элементах (следование элементов не имеет значения). Основная формула: С(m | n)=n!/(m!*(n-m)!). Бином Ньютона – это целая положительная степень суммы двух слагаемых (бинома), представленная в виде суммы степеней этих слагаемых: (a+b)^n=(n | k=0) C(k | n)*a^(n-k)*b^k.

Классическое определение вероятности события, свойства вероятности

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов. Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет при осуществлении определенного комплекса условий: P()=1, невозможным событием – событие, которое при заданном комплексе событий никогда не произойдет: P()=0. Случайное событие – это событие, которое при заданном комплексе условий может как произойти, так и не произойти. Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Достоверные и невозможные события могут рассматриваться как крайние частные случаи случайных событий. Два события А и Б несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого. Сумма событий А, Б – это такое событие С=А+Б, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А, либо событие Б, либо они оба одновременно. Произведение событий А, Б – такое событие С=АБ, которое наступает тогда, когда происходят и событие А, и событие Б. Событие А противоположно событию А, если оно несовместно с событием А и вместе они образуют достоверное событие: А+А=ДС.

Теорема сложения вероятностей

Если два составных события А={_i1, …, _im} и Б={_j1, …, _jk} являются несовместными, то вероятность объединенного события С=АБ равна сумме вероятностей этих двух событий. Вероятности событий А и Б равны соответственно m/n и k/n, а событие С= АБ={_i1, …, _im, _j1, …, _jk} содержит m+k элементарных событий, т.к. по условию теоремы среди элементарных событий {_i1, …, _im} нет ни одного, которое входило бы в набор {_j1, …, _jk} => его вероятность (по классическому определению): P(C)=(m+k)/n=m/n+k/n=P(A)+P(Б). Следствие из теоремы – P(A)=1-P(A), т.к. P(ДС)=P(A)+P(A)=1.