9. Асимптоты графика функций.

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции  называется вертикальная прямая  , если   или  при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию  . График   имеет вертикальную асимптоту  , поскольку при   выполняется условие  , а также при   выполняется условие  .   

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции 

 Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции   при  называется прямая  , если выполнены два условия:  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при   и при 

  Определение 7.3   Линия   называется асимптотической линиейграфика функции   при   (или при  ), если обе эти функции определены на некотором луче   (или луче  ) и разность ординат графиков стремится к 0 при   (или при  , соответственно).     

Если функция   -- линейная, то есть график   -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

 Теорема 7.1   Прямая   служит наклонной асимптотой для графика   при   (или при  ) в том и только том случае, когда

(7.2)

и

(7.3)

(соответственно, если

 и 

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится  ) асимптоты достаточно найти два указанных предела   и, затем,  . Прямая   будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты

10. Приложение производной для раскрытия неопределенностей в пределах.

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа   или  .  Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если   и  , то  ;

• Если   и  , то аналогично  .

Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком ГийомомЛопиталем(1661- 1704).

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.