7. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола: определение, канонические уравнения, свойства, способ построения.

   1. Кривые второго порядка:

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов   отличен от нуля.

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если   Могут возникать следующие варианты:

• Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если 

  • эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;

    • частный случай эллипса — окружность — при условии I² = 4D или a₁₁ = a₂₂,a₁₂ = 0;

  • мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;

  • гипербола — при условии D < 0;

• Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

  • парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

• вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

• пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

• вырожденная парабола — при условии D = 0:

  • пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

  • одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

  • пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

1. Эллипс, гипербола, парабола, окружность:

• Окружность: (x-x₀)² + (y-y₀)² = R²,

• Парабола: y-y₀ = 2p(x-x₀)²или x-x₀=2p(y-y₀)²,

• Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояния от которых до двух данных (называемая фокусами) есть величина постоянная, больше, чем расстояние между этими точками.| F₁M | + | F₂M | = const, const>|F₁F₂|, |F₁F₂| - фокусное расстояние.

- уравнение эллипса в центре начала координат. |a| - длина большой полуоси, в² = а² – с², |в| - длина малой полуоси. , где x₀и y₀ – координаты центра эллипса.

• Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности от каждых из которых до двух заданных (фокусами) есть величина постоянная, меньше чем расстояние между фокусами. , |а| - длина действительной полуоси,в² = с² – а², |в| - длина мнимой полуоси.

8. Полярная система координат.

Формулы перехода от декартовой системы координат к полярной и обратно

x=r cos

y=r sin 

Обратная связь:

Пусть известны x и y:

Полярные уравнения кривых второго порядка

Выберем начало отсчета (полюс) в одном из фокусов. (F₁=0)

Для любых точек М эллипсу (*)

Так как для эллипса фиксировано расстояние от фокуса до директрисы, то вводим обозначение для этого расстояния - р.

Тогда расстояние от точки М до директрисы в полярной системе примет вид:

(1) – полярноеур эллипса ( 1)

(2)- полярное уравнение гиперболы.

Полярное уравнение параболы: (3)

Предел и непрерывность