2. Произведения векторов:

Скалярное произведение векторов и его свойства:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

СП равно 0 тогда и только тогда, когда векторы взаимно перпендикулярны

Векторное произведение векторов и его свойства:

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

Перпендикулярен векторам и .

Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

Векторы , и образуют правую тройку векторов.

С войства:

Смешанное произведение векторов и его свойства:

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если

результат смешанного произведения равен нулю.

5. Прямая на плоскости: основные уравнения, взаимное расположение двух прямых. Формулы расстояния от точки до прямой, длины отрезка.

   1. Уравнение прямой, через угловой коэффициентy = k*x+z, где k-угловой коэффициент.

K=tgɥ(ФИ) ɥ-угол между прямой и положительным направлением оси O_x. Z – отрезок, который отсекает прямая от оси O_y.

2. Общее уравнение прямой имеет вид:

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :

3. Общее уравнение прямой в отрезках:

A*x + B*y + C=0,

4. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

или в общем виде

5. Уравнение прямой проходящей M₀ с заданным угловым коэффициентом k:

(y-y₀) = k(x-x₀), если L₁IIL₂, то k₁=k₂, если L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1

6. Расстояние от точки до прямой:

Где L: Ax+By+C=0, а x₀и y₀–координаты точки.

7. Взаимное расположение двух прямых:

• L₁IIL₂, то k₁=k_2,

• L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1, А₁А₂ + В₁В₂ = 0,

• L₁∩ L₂, α = (L₁˄ L₂),

6. Прямая и плоскость в пространстве: основные уравнения, взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости.

   1. Взаимное расположение двух прямых:

• L₁IIL₂, то k₁=k_2,

• L₁⊥L₂, то k₁*k₂=-1, А₁А₂ + В₁В₂ = 0,

• L₁∩ L₂, α = (L₁˄ L₂),

2. Взаимное расположение двух плоскостей:

• Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (αIIβ).

• Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома).

1. Взаимное расположение прямой и плоскости:

• Прямая может лежать в данной плоскости.

• Прямая может пересекать данную плоскость в одной точке.

• Прямая может быть параллельна плоскости.

4. Основные уравнения прямой и плоскости в пространстве:

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0                                       (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;              (3.2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;                                       (3.3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.                              (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.                                     (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе  ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система   равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.