2. Свойства определителей:

   1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.

   2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

   3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

   4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число ƛ равносильно умножению определителя на это число ƛ.

   5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

   6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

   7. Если каждый элемент n-го столбца (n-й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце (n-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

   8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель ƛ, то величина определителя не изменится.Минором – некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)^p, где p – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

   9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

   10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равна нулю.

3. Вычисление обратной матрицы.

Обратной для матрицы А называется такая матрица (обозначение А^-1), которая удовлетворяет условиям А^-1*А=А*А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Обратная матрица А наз-ся невырожденной, если её опр-ль не равен 0.

Для вырожденной матрицы А обратной матрицы не существует

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную ей.

Теорема: Для того, чтобы кв. матрица А имела обратную матрицу А^-1 необходимо и достаточно, чтобы опр-ль матрицы А был отличен от 0. При этом обратную матриу можно найти по формуле:

3. Системы линейных уравнений: основные понятия, методы решения: матричный, Крамера, Гаусса.

   1. Методы решения:

Матричный:

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Применяется в тех случаях, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных и ранг матрицы системы является максимально возможным.

Очевидно, что maxrangA=n. Это верно при условии (невырожденность матрицы).

Так как предполагается, что матрицаА- невырожденная, то

Умножим обе части равенства (71) слева на матрицу . Получим . В соответствии с одним из свойств произведения матриц последнее преобразуется к виду или, окончательно, )_(2)

Выражение (2) – решение (1) в матричном виде

Замечание : если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение

Правило Крамера решения СЛУ:

если , то решение квадратной системы (Ах = В) можно найти по формулам: , i= 1, 2, 3….n, (7.3)

где , а - определители порядка n, отличающиеся от i- ым столбцом, на месте которого стоит столбец свободных членов. Принято называть - главным определителем, а - вспомогательными определителями.

вытекают формулы (7.3).

В частности,

= .

    Пример 15.1   Решите систему уравнений 

Решение. Выписываем матрицу системы   и столбец свободных членов   .

Находим определитель системы:   . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Ответ:   .