11. Формула Тейлора. Разложение в ряд функций.

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. 

Функции нескольких переменных

1. Ф ункции нескольких переменных (фнп): определение, св-ва, график, линии и поверхности уровня.

Функцию двух переменных можно изобразить графически. Каждой паре (x, y)D ставится в соответствие точка M(x, y,z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра PM к плоскости Oxy.

Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Скалярным полем называется часть пространства или все пространство в каждой точке которого соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Если функция не зависит от времени, то поле называется стационарным. Геометрически скалярное поле изображают с помощью поверхности уровня или линии уровня.

Поверхностью уровня называется геометрическое место точек пространства в котором функция поля имеет одно и тоже значение.

Линия уровня функции z = f(x, y) – это линия, определяемая уравнением f(x, y) = С, где С=R.

2. Предел и непрерывность фнп. Дифференцируемость фнп.

1.1.2 Предел функции в точке

Пусть задана функция z=f(x,y), M(х,у)-текущая точка, M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f). (Рис. 1).

Определение 3. Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой M_n не принадлежащей множествуD(f), M_n ≠ M₀, выполняется равенство:

.

При этом пишут  , или  .

Определение 4. Если  , то функция называется бесконечно малой. Определение 5. Если  , то функция называется бесконечно большой.

 

1.1.3 Непрерывность функции двух переменных в точке

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция fназывается непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция  f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е.  . Теперь учитывая определение предела функции в точке, переформулируем определение непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в точке, если:

1.     функция определена в этой точке;

2.     имеет предел в этой точке;

3.     предел равен значению функции в этой точке.

В противном же случае функция терпит разрыв в этой точке.