Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

23) верхний и нижний предел в точке

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно   или  .

Нижний предел последовательности — это наименьший элемент множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это наибольший элемент множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.^[1]Очевидно, что эти определения эквивалентны.

[Править]Обозначения

Нижний предел последовательности  :

•  (в отечественной литературе);

•  (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности  :

•  (в отечественной литературе);

•  (в иностранной литературе).

[Править]Примеры

• 

• 

• 

•  (в другой терминологии оба предела равны  )

[Править]Свойства

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.

• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать   и   допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.

• Числовая последовательность   сходится к   тогда и только тогда, когда  .

• Для любого наперёд взятого положительного числа   все элементы ограниченной числовой последовательности  , начиная с некоторого номера, зависящего от  , лежат внутри интервала  .

• Если за пределами интервала   лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности  , то интервал   содержится в интервале  .

29)

Теорема (Дарбу):
Пусть   дифференцируема на  . Тогда
Доказательство:
Для определенности считаем, что  , обратный случай доказывается аналогично. Рассмотрим вспомогательную функцию  . По определению производной,  При  Аналогично рассмотрим  : при  Функция   — дифференцируема, а значит, также и непрерывна на  , поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке. Пусть оно достигается в точке  , тогда по теореме Ферма в этой точке  . Значит,  .
Теорема (Ферма):
Пусть   существует и дифференцируема в  , и   — точка локального экстремума. Тогда
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда   — точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично. ; рассмотрим  . Заметим, что, по определению локального минимума,  . Возможны 2 случая для  : Отсюда,  .

Замечание: обратная теорема не всегда верна, например,   но   — не экстремум.

Определение:

Корень уравнения   называется стационарной точкой.