[Править]Свойства
Отношение подобности матриц является отношением эквивалентности в пространстве квадратных матриц.
У подобных матриц совпадают многие характеристики, а именно:
ранг
определитель
след
собственные значения (но собственные векторы могут не совпадать)
характеристический многочлен
Жорданова форма с точностью до перестановки клеток
Можно доказать, что любая матрица A подобна AT.
[Править]Канонические формы подобных матриц
Часто возникает вопрос, насколько сильно можно упростить вид заданного линейного преобразования путем замены базиса (т.е. системы координат). Поскольку получающиеся при этом матрицы подобны, то это то же самое, что и поиск некоторой канонической формы матрицы в классе эквивалентности матриц, подобных матрице этого линейного преобразования.
Простейшей такой формой была бы, конечно, диагональная матрица, но не все матрицы могут быть приведены к диагональному виду (важное исключение составляют симметричные действительные и эрмитовы матрицы, которые всегда могут быть диагонализованы).
Существует несколько более сложных канонических форм матриц, к которым может быть приведена любая матрица преобразованием подобия:
Жорданова нормальная форма
Фробениусова нормальная форма
10) диагонализация матрицы
Диагонализация матрицы
Используя тот факт, что матрица XL обратна к XR, из предыдущих формул получаем: XR-1AXR = diag(1,...,N).Это является частным случаем преобразования подобия матрицы A: A -> Z-1AZдля некоторой трансформирующей матрицы Z. Основную роль в вычислениях собственных значений играют именно преобразования подобия, поскольку они их не меняют. Это легко доказывается: det|Z-1AZ - 1| = det|Z-1(A - 1)Z| = det|Z| det|A- 1| det|Z|-1 = det|A - 1|.Видно, что матрица с набором собственных векторов, удовлетворяющим свойству полноты (к таким относятся все нормальные матрицы и "большинство" случаев ненормальных матриц), может быть диагонализирована преобразованием подобия, трансформирующей матрицей которого является матрица, столбцы которой содержат координаты правых собственных векторов; строки же обратной к ней матрицы будут образовывать координаты левых собственных векторов.
Для действительных симметричных матриц собственные векторы действительны и ортонормальны, таким образом, трансформирующая матрица является ортогональной. При этом преобразование подобия является ортогональным преобразованием:
A -> ZTAZ.Хотя действительные несимметричные матрицы и могут быть диагонализированы "почти во всех" случаях, трансформирующая матрица не обязательно будет действительной. Однако выходит так, что "почти" всю работу в этом случае делает также действительное преобразование подобия. Оно может привести матрицу к системе малых блоков (2 x 2), расположенных по диагонали; все остальные элементы будут нулевыми. Каждый из блоков размера (2 x 2) соответствует комплексно - сопряженной паре собственных чисел. Эта идея будет эксплуатироваться в алгоритмах, помещеных ниже.
Главная стратегия почти всех современных методов расчета собственных векторов и собственных значений заключается в том, что матрицаA приводится к диагональной формы посредством цепочки преобразований подобия:
A -> P1-1AP1 -> P2-1P1-1AP1P2 -> P3-1P2-1P1-1AP1P2P3 и т.д.
Если эта цепочка приводит в конце концов к диагональной форме, то матрица правых собственных векторов XR будет представлять из себя произведение матриц: XR = P1P2P3...Иногда не требуется проводить подобное преобразование до диагональной формы. Например, если нас интересуют только собственные значения, а не собственные вектора, то достаточно привести A к треугольному виду, при котором нулями являются все элементы над диагональю или под ней. В этом случае диагональные элементы преобразованной матрицы уже будут собственными значениями.
Имеется два существенно различных подхода к осуществлению указанной стратегии. Часто они хорошо работают в комбинации друг с другом, так что большинство современных методов используют оба из их. Первый подход заключается в построении индивидуальных матриц Pi как явных "элементарных" трансформаторов, расчитанных на специфические задачи, например, для обнуления конкретного внедиагонального элемента (преобразование Якоби) или целого столбца или строки (преобразования Хаусхолдера). В общем случае конечная цепочка подобных преобразований диагонализировать матрицу не может. Имеется выбор: либо использовать конечное число трансформаций для прохода большей части пути к диагонализации (например, приведя к трехдиагональной или Гессенберговскойформе), а затем завершить операцию на второй стадии с помощью алгоритмов, которые будут указаны ниже. Либо итерациями свести внедиагональные элементы к пренебрежимо малым. Последний подход концептуально является простейшим и будет обсуждаться в следующем разделе, однако при N больших ~10 он является примерно в 5 раз менее эффективен.
Другой подход, называемый методами факторизации, более тонкий. Предположим, матрица A может быть разложена в произведение правого FR и левого FL факторов. Тогда
A = FLFR, или, что эквивалентно, FL-1A = FR.Если мы перемножим эти факторы в обратном порядке и используем вышенаписанное тождество, то будем иметь FRFL = FL-1AFL,что сразу распознается как преобразование подобия матрицы A с трансформирующей матрицейFL. Эту идею использует метод QR-разложения матрицы.
Методы факторизации также не дают сходимость за конечное число шагов. Но лучшие из них сходятся быстро и надежно, и при использовании хорошего начального состояния матрицы, первично преобразованной элементарными операциями, являются главным выбором.
Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —
A = TΛT−1
Здесь Λ = diag(λ1,..., λN) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v1,...,vN).
Например,
Рис. 23 Приведение к диагональному виду
12) различные формы уравнения прямой на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку c координатами (х0;у0) с известным угловым коэффициентом:
Уравнение прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой в отрезках на координатных осях:
Расстояние от точки c координатами (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0:
19) свойства сходящихся последовательностей
Иногда
удобно записывать определение сходимости
последовательности { an } 
a в
следующих эквивалентных первоначальному
видах
1. an
a, если 
0 
N (
)
n
N (
)
: a -
an
a +
2. an
a,
если
0
N (
)
n
N (
)
: an 
( a )
3.
{ an }
a,
если
0 вне
окрестности
( a ) лежит
конечное число элементов
последовательности { an }.
Свойство 3.2.1 Если последовательность { an } сходится, то ее предел единственный. Доказательство : (от противного) Пусть
Возьмем 
тогда
( a ) 
( b )
= 
по
выбору
,
с другой стороны, по определению
сходимости,
по
N1 n N1 : xn ( a ) N2 n N2 : xn ( b )
Следовательно, для n max { N1, N2 } : xn ( a ) ( b ), что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.
Последовательность { an } называется ограниченной,
если
М
0
n : | an | 
М.
Это означает, что
{ an } 
[
- M,
M ]
или, что множество { an } можно
накрыть отрезком [ - M,
M ].
Замечание 3.2.1 Ясно, что последовательность { an } будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком [ - M, M ], начиная с некоторого номера N. ( Вне отрезка [ - M, M ] может лежать лишь конечное число элементов последовательности { an }, следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком [ - M, M1 ], где М M1 ).
Свойство 3.2.2 Если последовательность сходится, то она ограничена Доказательство : Пусть an a и = 1. Тогда, по определению сходимости, существует N, что для всех n N : | an - a | 1. Следовательно, | an | - | a | | an - a | 1, и, поэтому, n N : | an | | a | + 1 = M, итак, по замечанию 3.2.1, последовательность { an } ограничена.
Свойство
3.2.3 Если
последовательность { an } сходится
к числу a
0, то
вся последовательность { an } лежит
вне окрестности нуля 
(0),начиная
с некоторого номера.
Для
доказательства достаточно взять 
0.
Тогда,
по определению предела, найдется N (
) ,
что для всех n
N (
)
:
,
то есть 
Свойство 3.2.4 Если для всех n, an bn и
, 
,
то 
.
Доказательство: Пусть, напротив,
Зададим 
Тогда,
по определению сходимости
N1 n N1 : a - an a + N2 n N2 : b - bn b +
Следовательно, для n max { N1, N2 } выполняется
что противоречит условию теоремы.
Свойство 3.2.5 Если для всех n, xn zn yn и
то 
Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности zn к числу а. Возьмем любое 0, тогда из условия xn а следует N1 n N1 : a - xn a + ; из условия yn а следует N2 n N2 : a - yn a + . Поэтому, для всех n N = max { N1, N2 } выполняется : a - xn zn yn a + , следовательно a - zn a + .
Пример 3.2.1 Доказать, что
Действительно,
для любого n
,
используя результат задачи 1.4.1, получим
Следовательно,
по свойству 3.2.5, 
Пример
3.2.2 Доказать,
что
где а 1. Рассуждая также, как в задаче 3.2.1, имеем
Следовательно,
по свойству 3.2.5, 
( a 
1
)
20) Очевидно, имеет место
Теорема
4.3.1. Если
последовательность 
сходится
к некоторому пределу, то и любая ее
подпоследовательность сходится к этому
же пределу.
Пример
4.3.2. Последовательность 
расходится,
так как две ее подпоследовательности 
и 
сходятся
к разным числам.
Выделение подпоследовательностей у последовательности , сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости.
Ответ на вопрос: "Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность'', дает следующая фундаментальная теорема.
Теорема
4.3.2 (Больцано - Вейерштрасса). Из
всякой ограниченной последовательности 
можно
выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторому действительному
числу.
Доказательство (метод
Больцано). Так как последовательность
ограничена,
то существует число 
такое,
что 
.
Разделим отрезок 
на
два равных отрезка и обозначим
через 
какой-нибудь
из них, содержащий бесконечно много
элементов из
,
пусть 
.
Далее разделим отрезок
на
два равных отрезка и обозначим
через 
какой-нибудь
из них, содержащий бесконечно много
элементов из
.
Тогда найдется элемент 
и 
.
Процесс деления отрезка пополам, выбора
одной из половин отрезка и элемента в
ней продолжим по индукции. Итак, построена
система вложенных отрезков 
и
последовательность
такая,
что для любого 
выполняется 
и 
.
Тогда по теореме Кантора о вложенных
отрезках существует единственная
точка 
,
принадлежащая всем отрезкам, и 
.
Переходя к пределу по 
в
неравенствах 
,
получим 
.
22) свойства пределов