25. Предел функции

Определение (по Гейне). Число А называется пределом функции y= f( x) в процессе при x →x₀ , если для любой числовой последовательности, сходящейся к x₀ , соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Определение (по Коши). Число A называется пределом функции y= f( x) при x →x₀ , если для любого, сколь угодно малого, числа ε > 0 существует число ε _δ > 0 (зависящее от ε) такое, что для всех x ≠ х₀, удовлетворяющих неравенству | x- x₀| < δ _ε , выполняется неравенство | f (x) - A| < ε .

Теорема ( Необходимое и достаточное условие существование предела). Для того, чтобы функция y= f( x) при x →x₀ имела конечный предел А, необходимо чтобы в окрестности точки х₀ f(х) можно было представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции.

26. Бмф. Основные св-ва бмф

Функция y= f( x) называется БМФ в процессе, когда x →x₀ (в окрестности точки х₀ или бесконечно удаленной точки), если lim_{х →х0} f( x)=0.

Свойства:

Теорема. Сумма двух бесконечно малых функций в окрестности точки x есть БМФ в окрестности этой точки.

Следствие Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть БМФ.

Теорема. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную в окрестности точки 0 x , есть БМФ.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции и константы есть БМФ. 2. Произведение двух бесконечно малых функций в данном процессе есть в этом процессе БМФ. 3. Произведение любого числа бесконечно малых функций есть БМФ

Теорема. Отношение бесконечно малой функции к функции, предел которой есть конечное число, является также БМФ

Теорема. Величина, обратная бесконечно малой функции имеет своим пределом +∞ или –∞.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие существования предела). Для того чтобы функция y =f( x) при x →x ₀ имела конечный предел А, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки x₀ f(x) можно было бы представить в виде суммы этого предела и БМФ.

27. ББФ и их св-ва

Бесконечно большой в окрестности точки x₀ называется такая функция, для которой lim_{х →х0} f( x)= ∞.

Свойства: Теорема Величина, обратная ББФ в окрестности точки x₀ , есть БМФ.

Теорема. Сумма любого числа бесконечно больших функций одного знака есть ББФ. (∞ + ∞ + ∞ + … ) = ∞.

Теорема Произведение бесконечно большой функции на функцию, ограниченную в данном процессе, есть ББФ.

Следствие Произведение постоянной величины и бесконечно большой функции есть ББФ.

Теорема Отношение бесконечно большой функции и величины, ограниченной в данном процессе, но не равной 0, есть ББФ.

28.Теоремы о предельном переходе в неравенствах

Теорема. Если функция f (x) определена в некотором промежутке, содержащем точку х0, и имеет положительный (отрицательный) предел при x →x₀ , то найдется такая окрестность точки х0, в которой функция положительна (отрицательна).

Теорема. Если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f1(x)> f2(x) и функции f1 и f2 имеют пределы при x →x₀ , то

Lim _{x →x0} f1(x) ≥ lim _{x →x0} f2( x).

Теорема (теорема о «зажатой» функции или о «двух милиционерах»). Если функции u(x), y(x), v(x) связаны в окрестности точки х₀ соотношением u(x) ≤ y(x) ≤ v(x) и

Lim _{x →x0} u(x)=А, Lim _{x →x0} v(x)=А, то Lim _{x →x0} y(x)=А.

Теорема Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х₀ монотонно возрастающая (убывающая) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

Теорема Если функция f(x) – элементарная и определена при x = x₀, то Lim _{x →x0} f(x)= f (Lim _{x →x0} х).

29. основные теоремы о пределах функции

Теорема Lim _{x →x0} const =const.

Теорема Lim _{x →x0} с* f1(x)= c * Lim _{x →x0} f1(x) = c*A.

Теорема Lim _{x →x0} (f1(x) +\- f2(x))= Lim _{x →x0} f1(x) +\- Lim _{x →x0} f2(x)= A+\- B.

Теорема Lim _{x →x0} f1(x) * f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) * Lim _{x →x0} f2(x) =A*B

Теорема. Lim _{x →x0} f1(x) \ f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) \ Lim _{x →x0} f2(x) = A\B, если В не равно 0.

30. неопределенные выражения

Определение. В результате предельного перехода в равенствах могут быть получены выражения вида (0\0), (∞/∞), (1 ^∞), (∞-∞), (0*∞).Такие выражения называются неопределёнными.

31. первый замеч-й предел

Теорема. Lim _{x →0} sinx \ x=1.

Следствия:

1. Lim _{x →0} х \ sinx = 1.

2. Lim _{x →0} sinkx \ x = k.

3. Lim _{x →0} tgmx \ x = m.

4. Lim _{x →0} arcsin mx \ x = m.

Замечание. Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида (0\0), содержащих тригонометрические функции.

Lim _{x →0} cosx \ x = ∞.

32. число е. второй замеч-ный предел

Теорема Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

Теорема. Lim _{h →0} ln(1+h) \ h =1.

Следствия:

1. Lim _{h →0} (1+h) ^1\h = e

2. Lim _{y →0} (1+ 1\y)^y= e

33.

1. Lim _{x →0} (1+kx)^1\x = e^k

2. Lim _{x →∞} (1+k\x) ^x =e^k

3. Lim _{x →0} (log_a(1+x) \ x) = log_ae

4. Lim _{x →0} (a^x -1 \ x)= ln a

5. Lim _{x →0} (e^x -1 \x) =1.

6. Lim _{x →0} ((1+x) ^α -1 \ x) = α .