6.3 Парабола

Определение 3. Параболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы введем систему координат так, чтобы ось была направлена перпендикулярно директрисе , проходила через фокус , и направлена от директрисы в сторону фокуса. Ось проведем через середину отрезка перпендикулярно оси (рисунок 38).

Рисунок 38

Из определения параболы для ее текущей точки справедливо равенство:

.

Пусть расстояние между фокусом и директрисой , то есть . Тогда уравнение директрисы будет:

и .

Так как

, а ,

то свойство параболы можно выразить равенством:

.

Возведем в квадрат это равенство и преобразуем:

получим каноническое уравнение параболы:

. (15)

Форма кривой

1. Кривая симметрична относительно оси , так как « » входит в уравнение во второй степени.

2. Парабола проходит через точку .

3. Так как , то , поэтому линия расположена только правее оси .

Замечание. Если в уравнении (15) поменять местами и , то полученное уравнение определит параболу, осью симметрии будет ось , парабола будет располагаться над осью . Фокусом будет точка , директрисой – прямая .

Пример 1. Для параболы найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение. Сравним и , получим

,

тогда фокусом будет точка , то есть .

Уравнение директрисы

.

6.4 Приведение кривых второго порядка к каноническому виду

6.4.1 Преобразование координат

а) параллельный сдвиг (на ; )

,

где и новые координаты.

Или

.

Пример 2. Дана точка . Перенесем начало координат в точку . Тогда координаты точки в новой системе координат будут (рисунок 39):

.

Рисунок 39

б) поворот осей координат на угол (рисунок 40)

.

Рисунок 40

Действительно:

.

Из

;

.

В

и

.

Тогда

,

.

Разделим обе части на и получим:

.

Аналогично доказывается и другая формула для .

Итак, поворот и параллельный перенос осей координат осуществляется по формулам:

.

Или старые координаты через новые:

.

6.4.2 Центр линии второго порядка

Определение 4. Линия, которая в декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка:

. (16)

Определение 5. Центром некоторой линии называется точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Определение 6. Точка является центром линии, определяемой уравнением (16), если ее координаты удовлетворяют:

.

Определитель этой системы

состоит из коэффициентов при старших членах.

Если , то

; .

Если центральная, то в результате преобразования координат по формулам:

,

.

То есть начало координат перенесли в центр линии, то ее уравнение примет вид:

,

где

.