6 Кривые второго порядка

6.1 Эллипс

Определение 1. Эллипсом называется линия, представляющая множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть фокусами эллипса являются точки и .

Обозначим сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов через ( ), а расстояние между фокусами через ( ). Тогда для любой текущей точки эллипса будет

, (1)

. (2)

Для вывода уравнения эллипса введем декартову систему координат так, чтобы ось прошла через точки и , начало координат поместим в середину отрезка ; ось (рисунок 35)

Рисунок 35

При таком выборе системы фокусы имеют координаты ; .

Так как одна сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, то

.

Найдем расстояние между двумя точками и подставим в (1):

; ,

– это уравнение эллипса.

Преобразуем его. Перенесем второй корень в правую часть равенства и возведем обе части равенства в квадрат:

.

Преобразуем это равенство. Получим:

. (3)

Еще раз возведем в квадрат:

.

Перенесем переменные слагаемые в левую часть равенства, а постоянные – в правую:

.

Так как , то положим

. (4)

Теперь уравнение эллипса примет вид:

.

Разделим обе части равенства на .

Окончательно получим каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

. (5)

Форма эллипса

Так как у и четные степени, то кривая симметрична относительно осей и , которые называются осями эллипса.

Точка – центр. Ось называется фокальной.

и ,

так как их сумма (а они оба положительны) равна единице. Тогда

; .

Для всех точек эллипса это означает, что эллипс находится внутри прямоугольника , .

Точки , , , называются вершинами эллипса (рисунок 36).

Рисунок 36

Форма эллипса определяется величиной

, (6)

которая называется эксцентриситетом. Так как , то . Чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более «сплющен» эллипс; чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше форма эллипса приближается к окружности. Если , то эллипс превращается в окружность:

.

Замечания.

1. Если в уравнении (5) , то очевидно, что эллипс, отнесенный к системе координат, в которой оси и поменялись ролями: большая ось и фокусы этого эллипса лежат на оси , а малая ось – на оси . Тогда в этом случае

, (7)

. (8)

Координаты фокусов ; .

2. Иногда бывает удобнее работать с параметрическими уравнениями эллипса:

. (9)

Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса

Пусть – произвольная точка эллипса, и – фокальные радиусы этой точки, то

, .

Из равенства (3)

и (6)

следует

. (10)

Но

. (11)

6.2 Гипербола

Определение 2. Гиперболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Вывод уравнения гиперболы аналогичен выводу уравнения эллипса. Так же, как и для эллипса, выберем систему координат и сделаем обозначения. Только теперь вместо равенства (1) будет выполняться для любой точки гиперболы равенство

. (12)

Так как в должно выполняться условие

,

то

или .

Находим и и подставляем в (12). Затем проделываем аналогичные преобразования, позволяющие избавиться от корней. Так как , то обозначим

. (13)

Окончательно получим каноническое уравнение гиперболы

. (14)

Форма гиперболы

1. Гипербола симметрична относительно осей и и начала координат . Это следует их того, что переменные и входят в уравнение только во второй степени.

2. Так как

,

то . С увеличением будет увеличиваться и .

3. Гипербола пересекает ось в точках и – вершинах гиперболы. С осью пересечений нет.

Ось называется действительной осью гиперболы, а ось – мнимой осью.

4. У гиперболы существуют асимптоты – прямые линии, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при удалении в бесконечность от начала координат.

Уравнения этих прямых имеют вид:

.

Построение гиперболы

1. Строим прямоугольник , (рисунок 37).

Рисунок 37

Диагонали этого прямоугольника, неограниченно продолженные, являются асимптотами. Зная вершины и асимптоты, легко провести две ветви гиперболы.

Форма гиперболы, так же как и для эллипса, определяется эксцентриситетом

.

Для гиперболы , так как

,

то чем больше , тем больше угол раствора между асимптотами.

Замечания.

1. Уравнению:

будет соответствовать также гипербола. Только действительной осью будет ось , а мнимой – . Ее фокусы , лежат на оси , вершины и . Построение такой гиперболы аналогично.

2. При гипербола называется равнобочной. Ее уравнение

.

Асимптоты равнобочной гиперболы и .

Фокальные радиусы-векторы правой ветви гиперболы:

(правый фокальный радиус-вектор),

(левый фокальный радиус-вектор).

Фокальные радиусы-векторы левой ветви гиперболы:

(правый фокальный радиус-вектор),

(левый фокальный радиус-вектор).