4 Прямая в пространстве

Прямая в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей: и

. (28)

Уравнения (28) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Через точку , параллельно вектору провести прямую (рисунок 29).

Рисунок 29

Решение. Для вывода уравнения возьмем на прямой текущую точку .

Вектор параллелен вектору . Значит, их координаты пропорциональны, то есть

. (29)

Уравнения (29) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

А вектор называется направляющим.

Обозначим отношения из равенств (29) через

и выразим все переменные

(30)

получим уравнения прямой, которые называются параметрическими.

Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Решение. В качестве направляющего вектора можно принять вектор и точку, через которую проходит прямая, возьмем , тогда уравнения будут:

, (31)

которые называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

От общих уравнений прямой (28) можно перейти к каноническим уравнениям (29). Координаты точки на прямой получаем из системы (28), придав одной из координат произвольное значение (например ).

Так как прямая перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение .

. (32)

Замечание. Очевидно, что для одной и той же прямой можно записать много общих уравнений вида (28). А множество плоскостей, проходящих через одну прямую будет:

. (33)

Это уравнение называется уравнением пучка плоскостей. В нем – произвольная постоянная.

Чтобы от канонических уравнений прямой перейти к общим, достаточно составить из равенств (29) две различные произвольные пары, например

.

Угол между прямыми, заданными уравнениями

: , где .

: , где

принимают как угол между направляющими векторами (рисунок 30).

Рисунок 30

,

. (34)

Если прямые и перпендикулярны, то , то есть

: .

и условие параллельности двух прямых:

: .

Две прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю:

.

Они либо пересекаются, если , либо параллельны, если .

5 Совместные задачи на прямую и плоскость

1) Если в задаче необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через прямую, заданную общими уравнениями (28), то лучше воспользоваться уравнением пучка плоскостей (33), и из дополнительных условий найти неизвестный параметр .

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и

а) точку ,

б) параллельную оси .

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей . Так как точка принадлежит плоскости, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению тождественно. Поэтому

,

отсюда .

Найденное подставим в уравнение пучка плоскостей, и тогда после приведения подобных, уравнение плоскости будет:

,

,

.

Замечание. Если прямая, через которую проходит плоскость, задана каноническими уравнениями, то необходимо перейти от них к общим уравнениям.

2) Если плоскость проходит через точку и известен нормальный вектор или его легко найти, то лучше воспользоваться уравнением (19).

Пример 4. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярно прямой : .

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости , то ее направляющий вектор можно принять за нормальный вектор для плоскости (рисунок 31).

Рисунок 31

Тогда уравнение плоскости по формуле (19) будет:

,

то есть

.

3) Угол между прямой и плоскостью – есть угол, образованный прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть плоскость задана уравнением: , где , а прямая : .

Обозначим угол между прямой и плоскостью через , а через – угол между вектором нормали и направляющим вектором прямой (рисунок 32).

Рисунок 32

Тогда

.

Найдем

(считая )

и тогда, так как , получим

или

. (35)

Если прямая параллельна плоскости , то (рисунок 33).

Рисунок 33

Поэтому , то есть

(36)

– это условие параллельности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и параллельны (рисунок 34).

Рисунок 34

Поэтому равенства

(37)

являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

4) Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо прорешать систему

Для этого надо:

1) Перейти от канонических уравнений прямой к параметрическим

. (40)

2) Подставляя эти выражения для ; и в уравнение (39) и решая его относительно , находим .

3) Найденное подставим в (40). Это и будут координаты точки пересечения прямой и плоскости.

В общем виде это выглядит так:

или

тогда, если прямая не параллельна плоскости , то есть

,

то

.

Если параллельна , то есть

,

и если при этом

а) , то прямая параллельна плоскости и пересекать ее не будет;

б) если и , то прямая целиком лежит в плоскости .

То есть

(41)

является условием принадлежности прямой плоскости.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Какие из точек , , лежат на поверхности, заданной уравнением .

2. Какие множества точек на плоскости задают следующие уравнения:

а) ; б) ; в) ?

3. Найти точки пересечения с осями координат.

4. Найти периметр треугольника , если ; ; .

5. Отрезок между точками , разделен на 5 равных частей. Найти координаты точек деления.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости:

а) ; б) ; в) .

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

, , .

8. Найти угол между плоскостями:

; .

9. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

10. Найти канонические уравнения линии пересечения плоскостей:

;

.

11. При каких значениях параметров , прямая и плоскость будут:

а) параллельны?; б) перпендикулярны?

12. Найти проекцию точки на прямую . Чему равно расстояние от точки до данной прямой?

13. Найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости .

14. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

а) параллельно прямой ;

б) перпендикулярно этой же прямой.

16. Найти точку пересечения высот в треугольнике, вершины которого находятся в точках , , .

17. Из точек пересечения прямой с осями координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. Найти их уравнения.