3 Смешанное произведение векторов (Векторно-скалярное)
Обозначать будем:
.
Два вектора
и
умножаются векторно. В результате
получим вектор, который на третий вектор
умножается скалярно.
Геометрический смысл смешанного произведения
Построим параллелепипед, ребрами
которого являются векторы
,
,
и вектор
(рисунок 15):
|
Рисунок 15 |
Тогда
,
где
,
где
– площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
;
для правой тройки векторов и
для левой, где
– высота параллелепипеда.
Получим:
– объему параллелепипеда, образованного векторами , , .
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей, то есть
,
так как в этом случае не изменится ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.
2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведения, то есть
.
Выражение смешанного произведения через координаты
Так как
,
умножим вектор
на вектор
скалярно:
,
а это разложение определителя:
по элементам 3-ей строки. Итак, смешанное произведение векторов , , равно:
.
Приложение смешанного произведения
1) Объем параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах равно смешанному произведению векторов:
.
А объем пирамиды равен:
.
2. Если векторы компланарны, то их
смешанное произведение равно
.
Верно и обратное: если
,
то векторы компланарны (при условии
;
;
).
Упражнения для самостоятельной работы по векторной алгебре
1. В
обозначим
;
.
Выразить через
и
векторы, совпадающие с медианами
треугольника:
;
;
.
2. В ромбе
обозначим диагонали:
,
.
Выразить через
,
векторы, совпадающие со сторонами ромба:
;
;
;
.
3. Найти длину и направляющие косинусы
вектора
,
если
;
.
4. Дан вектор
.
Найти вектор
,
параллельный данному, направленный в
противоположную сторону, если его модуль
равен
.
5. В найти длины всех сторон, косинусы внутренних углов и площадь. Вершины треугольника находятся в точках:
а)
,
,
.
б) треугольник лежит в плоскости
:
;
;
.
6. Разложить вектор
по базису, образованному векторами
,
,
,
если
.
7. Найти вектор
,
параллельный вектору
и удовлетворяющий условию:
.
8. Найти скалярное произведение векторов
;
,
если известно, что
;
,
угол между векторами
.
9. Найти проекцию вектора
на направление вектора
,
если
а)
,
;
б)
,
.
10. Найти векторное произведение векторов
;
.
11. Найти вектор
,
перпендикулярный векторам
;
,
если известно, что он составляет с осью
тупой угол, а его длина равна длине
.
12. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
;
.
13. Будут ли компланарны векторы
;
;
.
14. Вычислить объем пирамиды, вершины
которой находятся в точках
,
,
,
.
15. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы
1)
,
2)
?
Аналитическая геометрия