1 Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение 1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается

, (1)

где .

Так как (рисунок 10), а , то получаем:

.

Рисунок 10

Свойства скалярного произведения

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) Если , то .

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть даны два вектора

и .

_{Найдем (1):}

.

Только слагаемые с произведением одноименных векторов не равны .

,

а скалярное произведение разноименных

,

так как , а .

Тогда

. ₍₂₎

_{Итак, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.}

_{1. Через скалярное произведение определяют углы между векторами:}

. ₍₃₎

2. Если векторы перпендикулярны, то скалярное произведение их равно ( ), то есть:

. (4)

3. Если необходимо найти проекцию вектора на направление, заданное вектором , то это осуществляется по формуле:

( ). (5)

4. Работа постоянной силы

.

2 Векторное произведение векторов и его свойства

Определение 1. Векторным произведением двух векторов (обозначим ) называется третий вектор , который:

1) перпендикулярен и , то есть и ;

2) длина вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними, то есть

, (6)

где .

3) вектор направлен так, что с конца его кратчайший поворот от вектора множемого к вектору множителю виден против часовой стрелки.

Определение 2. Три таких некомпланарных вектора , и , связанные в указанном порядке, образуют правую тройку (рисунок 11).

Рисунок 11

Так как площадь параллелограмма , то модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах (рисунок 12).

Рисунок 12

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами , , (рисунок 13):

; ; . (7)

Рисунок 13

Действительно, например :

1) ; ;

2) , но ;

3) ; ; образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения

1) . Учитывая это ; ; ;

2) ;

3) если , то ; так как ; .

В частности .

4) .

Выражение векторного произведения через координаты

В выражении (7) векторы умножим векторно. Чтобы не ошибиться со знаком, воспользуемся схемой (рисунок 14):

Рисунок 14

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус», и помним, что , и, учитывая равенства (7) и свойство 1 векторного произведения, получим:

сгруппируем слагаемые

.

А это есть разложение определителя:

по элементам 1-ой строки. Итак,

.