3 Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме

Определение 1. Координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси.

Отрезки , обозначим и , обозначим . Тогда вектор (рисунок 7) имеет координаты

.

Рисунок 7

Проекции:

,

.

То есть координаты вектора равны разности между координатами конца и начала.

Из по теореме Пифагора, если

,

тогда

,

то есть длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве:

,

где имеет координаты , , , которые в дальнейшем будем обозначать в скобках

.

Определение 2. Минимальное количество векторов, через которые можно выразить любой вектор назовем базисом.

Так на прямой базисом является один вектор (рисунок 8). Через него выразим вектор

.

Рисунок 8

На плоскости базисом являются два неколлинеарных вектора и (рисунок 7).

Определение 3. Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1) вектор лежит на оси , вектор – на оси , вектор – на оси ;

2) каждый из векторов , , направлен на своей оси в положительную сторону;

3) векторы , , – единичные, то есть

, , .

Из рисунка 7:

,

где ,

и .

,

тогда

. (1)

Итак, вектор задается или координатами , или выражением (1), которое называется разложением вектора по координатному базису.

Аналогично и в 3-хмерном пространстве.

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются проекциями вектора (то есть , , суть проекции вектора на координатные оси).

Теорема. Линейным операциям над векторами соответствуют в точности такие же операции над их координатами.

Например,

, ,

тогда

,

.

Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны

.

Пример 1. Задача №776 Клетеник Д.В.

Проверить коллинеарность векторов и . Установить какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные стороны.

Решение.

1. Проверим коллинеарность:

.

Следовательно, векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. Коэффициент пропорциональности

2. в 3 раза и векторы направлены в противоположные стороны.

Действительно

, .

Пример 2. Задача №775 Клетеник Д.В.

Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Решение. Решим первую и пятую задачи:

1) .

Ответ: проекция на ось будет ; на ось – ; на ось : .

5) , , .

Ответ: ; ; .

4 Направляющие косинусы

Если и – углы, которые составляет вектор с координатными осями (рисунок 9, а), то и , а в пространстве и угол и , называются направляющими косинусами вектора (рисунок 9, б).

а)	б)
Рисунок 9

. (*)

Возведем обе части (*) в квадрат и сложим:

.

Но значит

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов ; ; , если известны два других.

, , называются направляющими косинусами, которые находятся по формулам:

; ; .

(каждую координату вектора делим на его длину).