Уравнение покоя жидкости. Уравнение Эйлера.
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
,
где S
— поверхность выделенного объёма, g
— напряжённость поля. Переходя, согласно
формуле Гаусса — Остроградского, от
поверхностного интеграла к объёмному
и учитывая, что
,
где ρ
— плотность жидкости в данной точке,
получим:
В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая конвективную производную через частные производные:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
где
—
плотность жидкости,
—
давление в жидкости,
—
вектор скорости жидкости,
—
вектор напряжённости силового поля,
—
оператор набла для трёхмерного
пространства.
Частные случаи Стационарный одномерный поток
Для случая стационарного, одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:
В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по x при постоянной плотности жидкости ρ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
Несжимаемая жидкость
Пусть ρ = const. Используя известную формулу
,
перепишем соотношение в форме
Беря ротор и учитывая, что
,
21.Эпюра давления жидкости на вертикальную стенку.
Графическим изображением изменения гидростатического давления вдоль плоской стенки служат эпюры давления . Площадь эпюры выражает силу давления, а центр тяжести эпюры — это точка, через которую проходит равнодействующая сила давления.
При построении эпюр учитывают, что давление направлено нормально к стенке, а уравнение Р = Ро + yh, характеризующее распределение гидростатического давления по глубине, является уравнением прямой.
Чтобы построить эпюры давления на вертикальную стенку, откладывают в выбранном масштабе давление по горизонтальному направлению, совпадающему с направлением сил давления (на поверхности жидкости и у дна), соединив концы этих отрезков прямой линией.
Эпюра абсолютного гидростатического давления представляет собой трапецию, а эпюра избыточного — треугольник (рис. а).
Если плоская стенка, на которую действует жидкость, наклонена к горизонту под углом a (рис. б), то основное уравнение гидростатики принимает следующий вид:
Таким образом, эпюры абсолютного и избыточного гидростатического давления на наклонную стенку представляют собой соответственно наклонную трапецию и наклонный треугольник.
Если плоская стенка, на которую с двух сторон оказывает воздействие жидкость, вертикальна, то на нее будут действовать параллельные и противоположно направленные силы гидростатического давления. Эпюра гидростатического давления на вертикальную стенку представляет собой вертикальную трапецию.
Эпюра гидростатического давления на горизонтальное дно резервуара представляет собой прямоугольник, так как при постоянной глубине избыточное давление на дно постоянно.