20. Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения – вывод формул для определения напряжений и перемещений.

   Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М_z. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения   и  ) М_z связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

   Условимся считать M_z положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент М_z принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

 

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

 

   Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

2. расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно  ;

3. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и  ;

4. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что  , из обобщенного закона Гука в форме получаем  . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения  , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

 

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол   (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол   (угол сдвига), поскольку на величину   искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол   в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса  ) будет перемещаться по дуге BB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг   и связанное с ним касательное напряжение   перпендикулярны радиусу  . Определим  , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

(1)

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

 

а) ортогональность   и  Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

 

   Здесь   — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

(2)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что

где J_p—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d  ), получаем

(3)

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

 

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

 

   Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

(4)

   Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJ_p стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (M_z через нее выражается)   тем меньше, чем больше DJ_p, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

(5)

В случае, если по длине стержня М_z и DJ_p постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

(6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при 

где W_р — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

   Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

(7)

где   — допускаемое напряжение на кручение.

21. Напряженное состояние – чистый сдвиг. Характеристика материала при чистом сдвиге. Свойство парности касательных напряжений. Следствия из свойства парности касательных напряжений. Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге.

Чистым сдвигом называют такой вид напряженного состояния, при котором по граням выделенного из материала элемента действуют только касательные напряжения.

Напряжение в наклонных сечениях (площадках)

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р F =  F, (2.17)

где F  площадь поперечного сечения стержня, F = F/cos   пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р =  сos . (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

 = p cos  =  cos2 ;      = p sin  =   sin 2  . (2.19)

П олученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что  = ,  = 0. При  =  , т.е. на продольных площадках,  =  = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения  принимают наибольшие зна­чения при  =  , и их величина составляет max= . Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название

закона парности касательных напряжений

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: ₁= — ₃ = ; ₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.

П ри деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб.  — абсолютный сдвиг,

  — относительный сдвиг или угол сдвига.

Механические характеристики материалов при чистом сдвиге.

Аналогично испытаниям на растяжение-сжатие проводят испытания в услових сдвига (на образце в форме тонкостенной трубки).

Нагружая трубку моментом m, на базе испытаний длиной L наблюдают поворот  .

Выделяют три зоны работы материала: 1) зона упругих деформаций (до  y); 2) зона текучести (в районе  т); 3) зона упрочнения ( от  т до  в).

предел	название	характеристика
	предел пропорциональности	до   верен закон Гука
	предел упругости	до   деформации упругие
	предел текучести при сдвиге	при   резкий рост пластических деформаций
	предел прочности при сдвиге	максимальное напряжение сдвига, которое способен выдержать образец