26. Векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.

Векторное и параметрическое уравнения прямой в пространстве.

Пусть – направляющий вектор прямой , – точка лежащая на . Тогда можно записать уравнениями:

1. , где - радиус вектор точки ;

2. .

Доказательство.

1. – для некоторого числа t.

2. , то

Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Уравнение прямой можно записать в виде:

1. , если ;

2. , если .

, если .

3. , если .

, если .

, если .

Доказательство.

• 

• Пусть

• Пусть

26. Угол между прямыми в пространстве, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью.

У гол между прямыми в пространстве.

Пусть - это направляющие векторы прямых . Тогда:

1. или совпадают;

2. ;

3. .

Угол между плоскостями.

Пусть - нормальные векторы плоскостей . Тогда:

1. или совпадают;

2. ;

3. .

Угол между прямой и плоскостью.

Пусть направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости . Тогда:

1. ;

2. или лежит в ;

3. 

Доказательство.

1. 

2. 

3. 

30. Каноническое уравнение эллипса.

Определение.Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек – это постоянная величина большая, чем расстояние между данными точками.

Пусть фокусы эллипса имеют координаты . Тогда эллипс задается уравнением:

, где .

Пример.

Доказательство.

30. Гипербола y = k/x.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек – постоянная величина меньшая, чем расстояние между данными точками.

Пусть фокусы гиперболы и , тогда гипербола задается уравнением:

Пример.

Доказательство.

Рассмотрим случай.

30. Каноническое уравнение гиперболы.

Пусть фокусы гиперболы имеют координаты . Тогда гипербола задается уравнением , где .

Д оказательство.

Рассмотрим случай.

30. Уравнение эллипса в полярных координатах, для случая, когда начало координат в центре эллипса.

Пусть эллипс задан каноническим уравнением , - эксцентриситет. Тогда в полярных координатах эллипс задается уравнением

Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности.

Д оказательство.

Проверим, что уравнение эллипса – это