12. Угол между прямыми на плоскости.

Пусть – угол между и . Тогда:

1. Если , то , где и - угловые коэффициенты.

2. , где и - направленные векторы.

3. , где и - нормальные векторы.

Доказательство.

1. 

2. 

3. 

12. Расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми на плоскости.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от прямой заданной уравнением до точки равно

Доказательство.

– нормальный вектор .

Пусть точка лежащая на .

– модуль проекции вектора на ,

Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости.

Пусть и заданы уравнениями и .

Если , тогда и - совпадают.

Если , тогда и расстояние равно

.

Доказательство.

или совпадают.

Пусть расстояние между и равно расстоянию от до ,

12. Общее и нормальное уравнение плоскости в пространстве.

Общее уравнение плоскости в пространстве.

Пусть – нормальный вектор плоскости, – точка лежащая в плоскости. Тогда плоскость можно задать уравнениями:

1. , где - радиус вектор точки и – радиус вектор произвольной точки лежащей в плоскости.

2. .

3. – общее уравнение.

Доказательство.

1. 

2. 

3. 

Нормальное уравнение плоскости в пространстве.

Пусть плоскость уравнения проходит через , - перпендикуляр из на , – длина .

– углы с осями координат .

Тогда можно задать уравнением вида

Доказательство.

– это нормальный вектор к плоскости , .

Координаты – это проекция на оси координат.

– это . Координаты точки равны координатам , .

- по теореме Пифагора.

29. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями.

Расстояние от точки до плоскости.

Теорема.Расстояние от точки до плоскости , заданной уравнением

Доказательство.

Пусть - лежит в плоскости .

Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Теорема. Пусть плоскости и заданы уравнениями:

и

Тогда:

1. Если - то плоскости совпадают и расстояние равно 0;

2. Если , то и расстояние между и равно .

26. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, и уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть не лежат на данной прямой. Тогда через проходит плоскость и ее можно задать уравнением.

Доказательство.

– не лежат на одной прямой.

и не параллельны => и определены плоскостью p.

– лежат в одной плоскости (компланарные).

Координаты векторов:

По следствию к теореме о формуле для смешанного произведения 

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость пересекает оси координат в точках . Тогда уравнение Pможно записать в виде

Доказательство.

Запишем уравнение плоскости проходящее через три точки.