12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема.

Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Доказательство.

Приведем матрицу систему к упрощенному виду преобразованиями 1) 2) 3) со строками расширенной матрицы и 1’,2’ со столбцами матрицы системы.

По теореме о ранге и элементарном преобразовании ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы не изменились.

По лемме об элементарном преобразовании матрицы системы: совместная матрица => в совместную; несовместная матрица => в несовместную.

Случай 1.

система совместна.

, по теореме о ранге матрицы упрощенного вида.

Случай 2.

Не все числа равны 0.

Пусть ; система несовместна.

, по теореме о ранге матрицы упрощенного вида.

Докажем, что , т.е. что есть ненулевой минор порядка .

Минор: строки столбца: .

Разложим по последней строке.

=>x – ненулевой минор порядка => =>

12. Теорема о количестве свободных переменных. Следствия из нее.

Теорема.

Дана система линейных уравнений с n неизвестных. Предположим, что система совместна. Пусть r – ранг матрицы системы.

1. Если , то система – определенная.

2. Если , то система – неопределенная. Имеет бесконечно много решений.

Можно выбрать переменных так, что при любых их значениях остальные r переменные определяются однозначно. (т.е. есть свободных переменных).

Доказательство.

Приведем матрицу систему к упрощенному виду. Преобразовав 1, 2, 3 со строками расширенной матрицы и 1’ со столбцами матрицы системы.

По лемме об элементарных преобразованиях матрицы системы, количество свободных переменных не изменяется.

По теореме о ранге и элементарных преобразованиях не изменяется.

Следствие 1.

Система линейных уравнений может иметь 0, 1 или бесконечно много решений.

Доказательство.

Несовместна – 0 решений.

Совместна – по доказательству теоремы либо определенная (1 решение, не свободных переменных), либо есть свободная переменная => бесконечна.

Следствие 2.

Если количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, то система либо несовместная, либо неопределенная.

Доказательство.

Пусть m уравнений, n неизвестно .

Предположим, что система совместная.

, (размер минора не больше, чем количество строк) => => система неопределенная.

Следствие 3.

Дана система из n линейных уравнений с n неизвестными. Пусть A – матрица сиcтема,

1. Если r=n, то система определенная. (при любых свободных членах).

2. Если r<n, то система либо несовместная, либо неопределенная.

12. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

Определение.

Скалярное произведение вектора и называется число .

Свойства.

1. (Коммутативность).

2. или или .

3. острый или равен 0.

4. угол тупой (90) или развернутый (180).

Доказательство.

Пусть .

5. (проэкция).

Доказательство.

(свойство Pr)

6. (дистрибутивность).

7. 

8.