1. Сложение матриц и умножение матрицы на число: определение и свойства, доказательство всех свойств.

Сложение.

Определено для матриц одинакового размера .

Сумма. , где

Пример.

• Противоположная матрица к матрице - это матрица

Пример.

• Разность.

Пример.

Свойства.

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

3. 

4. 

Доказательство.

1. Пусть

Элементы

Для любых чисел верно ; для любых

2. 

3. 

4. 

Умножение.

Умножение матрицы на число , K-число; K* – это , где

Пример.

1. 

2. 

Свойства.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Доказательство.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Пример.

2. Произведение матриц: определение и свойства, доказательство дистрибутивности.

Произведение матриц.

Определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. (Длина строки первой матрицы равна высоте столбцов второй матрицы)

Произведение. , где

Свойства.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Доказательство дистрибутивности.

Рассмотрим элементы на месте i, k.

3. Определение определителя произвольного порядка. Доказательство «правила треугольников» для определителя матрицы 3 X 3.

Определитель - одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

Правило треугольника. (для 3 х 3).

П усть , тогда

Доказательство.

4. Свойства определителя: формулировка всех свойств, доказательство свойств про перестановку двух строк, про матрицу с двумя одинаковыми строками, и про умножение на алгебраические дополнения другой строки.

Свойства определителя.

1. .

2. .

3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на (-1).

Пример.

4. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то .

5. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

6. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число d равносильно умножению определителя на это число.

7. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.

8. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей.

Доказательство.

1. Перестановка двух строк.

Индукция по .

База

Переход от n-1 к n. (Если свойство верно для матриц , то верно и для матриц .

. Переставляем i и k строки.

– такое число, что

Разложим по L строке.

– определитель матриц .

2. Матрица с двумя одинаковыми строками.

, переставим i и k.

3. Умножение на алгебраические дополнения другой строки.

Пусть

Разложим по k строке A. (свойство 2)

(По свойству 4)