7. Распределения непрерывных случайных величин.

Равномерное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на участке от до , если ее плотность распределения на этом участке постоянна:

(4.24)

В дальнейшем для непрерывных случайных величин выражение для плотности записывается только для тех участков, где она отлична от нуля:

.

Показательное распределение.

Непрерывная случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность распределения имеет вид

,

или

, (4.25)

где – единственный параметр распределения.

М атематическое ожидание показательного распределения:

.

Нормальное распределение.

Случайная величина распределена по нормальному (гауссовому) закону с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид

. (4.29)

Кривая нормального распределения (см. рис. 4.25) имеет симметричный холмообразный вид. Максимальное значение кривой, равное , достигается при , т. е. мода .

Гамма-распределение и распределение Эрланга.

Неотрицательная случайная величина имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения выражается формулой

, (4.39)

где – параметры распределения; – гамма-функция

, (4.40)

которая обладает следующими свойствами:

.

8. Системы случайных величин:

Функция распределения системы двух случайных величин. Матрица распределения.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется вероятность совместного выполнения двух неравенств – и

. (5.1)

Событие в фигурных скобках означает произведение событий и :

.

Геометрическое истолкование функции распределения – это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащей левее и ниже этой точки (см. рис. 5.3). Правая и верхняя границы в квадрант не включаются.

Система двух дискретных случайных величин.

Пусть множества возможных значений системы случайных величин конечны, т. е.

Обозначим через

, (5.2)

где событие есть произведение событий и .

Используя выражение (5.2), можно построить матрицу распределения – прямоугольную таблицу, в которой записаны все вероятности .

Сумма всех вероятностей матрицы распределения равна единице:

.

Системы двух непрерывных случайных величин.

Система двух случайных величин называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и у которой существует вторая смешанная производная . Обе составляющие системы и должны быть непрерывными случайными величинами.

Совместная плотность распределения.

Вторая смешанная производная функции распределения

, (5.3)

является совместной плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин .

Условные законы распределения.

Условным законом распределения случайной величины , входящей в систему , называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать или как условную функцию распределения , или как условную плотность .

Для произвольного типа систем случайных величин условная функция распределения может быть записана в виде

.

Теорема умножения плотностей.

Совместная плотность системы двух зависимых непрерывных случайных величин равна произведению плотности одной из них на условную плотность другой при заданном значении первой:

, (5.12)

. (5.13)

Теорема аналогична правилу умножения вероятностей в схеме событий и может быть выведена из него.

Начальные и центральные моменты.

Обычно рассматривают в качестве числовых характеристик системы случайных величин начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения на :

. (5.17)

Центральным моментом порядка системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения на :

, (5.18)

где , – центрированные случайные величины.

Ковариация и коэффициент корреляции.

Для системы двух случайных величин ковариация выражается формулой

, (5.21)

при этом .

Для независимых случайных величин ковариация всегда равна нулю.

Регрессия.

Условное математическое ожидание случайной величины при заданном : называется регрессией на ; аналогично – регрессией на . Графики этих зависимостей как функции или называют линиями регрессии, или "кривыми регрессии" на и на соответственно.

Двухмерное нормальное распределение.

Система двух непрерывных случайных величин распределена по нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид

. (5.25)

Это двумерное нормальное распределение, или нормальный закон распределения на плоскости, который полностью определяется заданием его числовых характеристик: .

Закон распределения и числовые характеристики n-мерного случайного вектора.

Закон распределения системы случайных величин – -мерного случайного вектора с составляющими – в общем случае может быть задан в виде функции распределения:

. (5.26)

Свойства функции распределения -мерного случайного вектора аналогичны свойствам функции распределения одной или двух случайных величин:

1. есть неубывающая функция каждого из своих аргументов.

2. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция распределения равна нулю.

3. Функция распределения любой подсистемы системы определяется, если положить в функции распределения аргументы, соответствующие остальным случайным величинам, равными :

.

Чтобы определить функцию распределения любой из случайных величин, входящих в систему, нужно положить в все аргументы, кроме , равными :

.

4. Функция распределения непрерывна слева по каждому из своих аргументов.

5. Если случайные величины независимы, то

.

Многомерное нормальное распределение.

Таким образом, параметрами -мерного нормального распределения являются:

• вектор математических ожиданий ;

• ковариационная матрица размером .

Если нормально распределенные случайные величины не коррелированы, то корреляционная матрица становится диагональной

,

ее определитель , а обратная корреляционная матрица будет иметь вид

.

Таким образом, совместную плотность распределения можно привести к виду

.

Для нормально распределенной системы случайных величин из попарной некоррелированности отдельных величин, входящих в систему, следует их независимость.