5. Числовые характеристики случайных величин.

Числовые характеристики положения (математическое ожидание, медиана, мода).

Математическое ожидание. Из характеристик положения наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением.

Определим математическое ожидание исходя из механической интерпретации распределения случайной величины. Если считать, что единичная масса распределена между точками на оси абсцисс со значениями (см. рис. 4.2), то центр масс такой системы материальных точек будет иметь координату :

, но ,

тогда

. (4.12)

Это среднее взвешенное значение случайной величины , в которое координата каждой точки входит с "весом", равным соответствующей вероятности, и называется математическим ожиданием.

М ода. Следующая характеристика положения – это мода. Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение, т. е. то, для которого вероятность или плотность распределения достигают максимума. Моду обычно обозначают через . Если многоугольник вероятности или плотность распределения достигают максимума в нескольких точках, то такие распределения называют полимодальными (см. рис. 4.16).

Медиана. Еще одна характеристика положения непрерывных случайных величин. Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение , для которого

,

т. е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше .

Геометрически медиана – это координата той точки на оси , для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны по (см. рис. 4.17). Для симметричных распределений математическое ожидание, мода и медиана совпадают.

Моменты (дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Для вычисления дисперсии служат формулы:

;

;

.

Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания.

Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние, разбросанность случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает "рассеяние".

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, и поэтому часто используется среднее квадратичное отклонение

.

Третий центральный момент имеет размерность куба случайной величины, и для получения безразмерной характеристики – коэффициента асимметрии – делят на :

, show – "косой".

Четвертый центральный момент характеризует островершинность ("крутость") распределения. Это свойство определяется с помощью так называемого эксцесса

.

6. Распределения дискретных случайных величин.

Производящая функция.

Пусть имеется случайная величина , принимающая неотрицательные целочисленные значения с вероятностями , где .

Производящей функцией для случайной величины называется функция вида

, (4.14)

где – аргумент функции .

Биноминальное распределение.

Дискретная случайная величина имеет биноминальное распределение, если ее возможные значения имеют соответствующие вероятности:

, (4.15)

где .

Биноминальное распределение (4.15) зависит от двух параметров, и . Это распределение случайной величины – числа появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью .

Распределение Пуассона.

Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения (бесконечное, но счетное множество) имеют соответствующие вероятности:

. (4.18)

Распределение Пуассона зависит лишь от одного параметра , который является одновременно и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины .

Простейший поток событий.

Рассматривается следующая задача: на временной оси случайным образом возникают точки – моменты появления каких-то однородных событий, например телефонных вызовов или обращений к серверу. Последовательность таких моментов (вызовов) называют потоком событий. Хотя потоки могут быть самыми различными, предположим, что некий поток обладает следующими свойствами.

Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на временной интервал не зависит от того, где расположен этот участок, а зависит только от длины интервала , т. е. среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначают его через и называют интенсивностью потока.

Ординарность. Это свойство означает, что события возникают по одному. Поэтому ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него только одного события (это может быть только при малых ). Другими словами, при вероятность попадания на этот участок более одного события – бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на участок ровно одного события.

Отсутствие последействия. Свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на заданный участок оси не зависит от того, сколько событий попало на любой другой, не перекрывающийся с ним участок. Иначе будущее потока не зависит от его прошлого.

Потоки, обладающие этими тремя свойствами, называются простейшими потоками событий. Простейший поток тесно связан с распределением Пуассона и поэтому часто называется стационарным пуассоновским потоком.

Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения (бесконечное, но счетное множество) имеют вероятности:

, для , (4.20)

где .

Вероятности для последовательных значений образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем .

На практике геометрическое распределение появляется при независимых испытаниях с целью получения положительного результата – наступления события , вероятность появления которого равна . Случайная величина – число неудачных попыток – имеет геометрическое распределение (4.20).

Гипергеометрическое распределение.

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , если ее возможные значения имеют вероятности:

, для .

Модель этого распределения такова: имеется урна, в которой белых и черных шаров; из урны вынимается шаров. Случайная величина – это число белых шаров среди вынутых.