3. Последовательность независимых испытаний

Независимые испытания.

Несколько опытов считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие результаты имели другие опыты, например несколько последовательных бросаний монеты, несколько выниманий карты из колоды при условии ее возврата в колоду и перемешивания.

Независимые испытания могут проводиться как в одинаковых, так и в различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же, и к нему относится частная теорема о повторении опытов. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется – общая теорема о повторении опытов.

Формула Бернулли.

Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью , то вероятность того, что событие А появится ровно раз, равна

. (3.1)

Соотношение (3.1) называется формулой Бернулли и описывает, как распределяются вероятности между возможными значениями некоторой случайной величины – числа появлений события А в испытаниях. Так как вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома , то распределение вероятностей (3.1) называется биноминальным распределением.

Локальная и интегральная предельные теоремы.

Локальная теорема Муавра – Лапласа (без доказательства). Если вероятность наступления некоторого события А в независимых испытаниях постоянна и равна , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно раз, удовлетворяет соотношению

.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа (без доказательства). Если есть число наступлений события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна , причем , то равномерно относительно и имеет место соотношение

.

Теорема Пуассона.

Было замечено, что асимптотическое представление вероятности посредством функции получается тем хуже, чем больше отличается от , т. е. чем меньшее или приходится рассматривать. Однако значительное количество задач связано с необходимостью вычислять вероятности именно при малых . То есть, чтобы теорема Муавра – Лапласа дала приемлемый результат, необходимо произвести очень большое число независимых испытаний. Задача нахождения асимптотической формулы вычисления вероятностей при малых решена теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона. Если , то вероятность ровно положительных исходов при испытаниях равна

, (3.9)

где .

4. Случайные величины.

Закон распределения.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество , которое называют множеством возможных значений случайной величины.

Случайные величины могут быть дискретными и недискретными. В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события , где – элементарное событие, принадлежащее пространству . При этом множество возможных значений случайной величины состоит из тех значений, которые принимает функция . Если множество счетное или конечное, то случайная величина Х называется дискретной, если несчетное – недискретной. При этом случайные величины могут иметь различные распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.

Рядом распределения дискретной случайной величины Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины а в нижней – вероятности этих значений: При этом – вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение .

Ряд распределения записывается в виде таблицы

Х:			…		…
			…		…	.

Функция распределения случайной величины.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной как для дискретных, так и недискретных случайных величин, является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х (аргумент функции)

.

Свойства функции распределения:

1. – неубывающая функция своего аргумента, т. е. если , то .

2. ; .

Ф ункция распределения дискретной случайной величины.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Индикатор события.

Индикатором события А называется случайная величина , равная единице, если в результате опыта событие А произошло, и – нулю, если не произошло:

Н епрерывная случайная величина.

Случайная величина Х называется непрерывной, если функция распределения не только непрерывна в любой точке, но и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек, где она терпит излом (см. рис. 4.11). Так как скачков эта функция не имеет, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, т. е.

.

Поэтому говорить о распределении вероятностей отдельных значений не имеет смысла. В качестве закона распределения непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей или плотности распределения.

Плотность распределения.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке

. (4.8)

Плотность распределения , как и функция распределения , является одной из форм закона распределения, но она существует только для непрерывных случайных величин. График плотности распределения называется кривой распределения (см. рис. 4.13).