Примеры сравнения При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде  .

 то есть при   функции   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи   и 

• При   бесконечно малая величина   имеет третий порядок малости относительно  , поскольку  , бесконечно малая   — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция  , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность   называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если  либо  .

31.Теорема о конечных пределах.(сумма произведения частного)

32.Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов.

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, навещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если   — значение функции   в точке  , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с  . На языке окрестностей условие разрывности функции   в точке   получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки   области значений функции  , что как бы мы близко не подходили к точке   области определения функции  , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки  .

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.