6.Решение систем линейных уравнений матричным методом.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы   и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.

1. 

Найдем матрицу обратную матрице A.

, 

Таким образом, x = 3, y = – 1.

2. 

Итак, х₁=4,х₂=3,х₃=5.

3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где 

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А^-1.

Проверка:

4. Решите матричное уравнение AX+B=C, где 

5. Из уравнения получаем  .

Следовательно,

7.Элементарные преобразования и ранг матрицы.

 Элементарными преобразованиями матрицы называют:   1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число; 2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число; 3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

Ранг м-цы.Рангом м-цы наз.наибольший порядок неравных 0 миноров.Ранг м-цы = кол-ву ненулевых миноров.Минором к-го порядка м-цы А(В) наз.определитель к-го порядка с эл-тами,кот.лежат на пересечении любых к-строк и к-столбцов м-цы.Всякий отличный от 0 минор м-цы,порядок кот.= рангу этой м-цы,наз.базисным минором.Теорема.1)Строки и столбцы,на пересеч.кот стоит базисный минор наз.базисными строками,базисными столбцами.2)Элементарные преобразования не меняют ранг м-цы:-умножение какой-либо строки на число,отличное от 0;-прибавление к эл-там 1строки соответств.эл-тов др.строки;-перестановка строк м-цы;-вычеркивание строки,если все Эл-ты=0;

8. Метод Гаусса. классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.