25. Однорідні диф. Рів-ня 1-го порядку та рів-ня, що зводяться до них.

Функція називається однорідною виміру відносно змінних , якщо виконується:

Означення: ДР1 вигляду , де функція є однорідною нульового виміру, називається однорідним ДР1. (6)

ДР1 вигляду: , де функції і є однорідними одного виміру, називають однорідним ДР1. (7)

Рівняння (6) або (7) зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними заміною невідомої функції:

ДР виду , де f - деяка неперервна функція, (

Розглянемо метод зведення для

(8). Варто зазначити, що, якщо , то це – однорідне рівняння.

Зробимо заміну:

(9)

Рівняння (9) буде однорідним, якщо:

Якщо , то маємо єдиний розв’язок , яким ми скористуємося. Таким чином ми перейдемо до однорідного ДР1.

Якщо ж . Тоді з (8) .

. А це – рівняння з відокремлюваними змінними.

26. Лін. Диф рів-ня 1-го порядку. Рів-ня Бернуллі

ДР1 вигляду: називається лінійним.

Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним ДР1(ЛОДР1).

Якщо - лінійне неоднорідне ДР1.

Це рівняння розв’язується методом Бернуллі або методом Лагранжа (метод варіації довільної сталої)

• Метод Лагранжа: 1)Розглянемо ЛОДР1

- це загальний розв’язок ЛОДР1. (*)

2)ЛНДР1: Шукаємо розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді:

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння:

. Отже, загальний розв’язок ЛНДР1=розв’язку ЛОДР1+частинному розв’язку ЛНДР1

27 Метод Бернуллі

Шукаємо розв’язок ЛОДР1 (*) у вигляді , де - невідомі функції.

Вибираємо функцію V(x) так, щоб виконувалося:

(с=1)

Рівняння Бернуллі:рівняння вигляду (**). Це рівняння зводиться до ЛНДР1 заміною:

Ділимо (**) на

Зауваження: Практично, при розв’язуванні рівняння Бернуллі можна не робити вказану заміну, а зразу застосовувати метод Лагранжа або Бернуллі.

28. Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Означення: ДР1 вигляду

(1)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо ліва частина є повним диференціалом деякої функції.

неперервні в деякій області (області існування розв’язку ДР1) та виконується (2)

Доведення.

Припустимо, що похідні рівні

, де х₀ – деяка точка

Рівняння (1) за умови (2) можна переписати у вигляді:

Загальний розв’язок:

Якщо (2) не виконується, то існують рівняння, які можна звести до рівняння у повних диференціалах. Домножимо (1) на інтегрувальний множник . Одержимо: . вибираємо так, щоб виконувалося (2).

Одержане рівняння в частинних похідних має безліч розв’язків, але процес розв’язування досить складний. Розглянемо його частинні випадки. Нехай залежить лише від однієї змінної:

1. 

,

2. ,

29. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь вищих порядків

Означення: ДРn називається рівняння вигляду:

(1)

або

Означення: розв’язком ДРn називається n раз диференційована функція , яка перетворює рівняння (1) або (2) в вірну числову тотожність на деякому проміжку.

Означення: загальним розв’язком ДРn називається функція така, що

1. ця функція є розв’язком ДРn для будь-яких значень довільних сталих С_і, з деякої множини

2. для будь-якої точки початкових значень з області розв’язків ДРn можна підібрати значення констант , , так що функція буде розв’язком ДРn, що задовольняє початкові умови.

Якщо розв’язок ДРn знайдено у неявному вигляді, то він називається загальним інтегралом ДРn.

Частинним розв’язком ДРn називається розв’язок, який одержується із загального фіксуванням значень констант.