1 18 8. Умовний екстремум функцій двох змінних

Умовним екстремумом функції називається екстремум цієї функції, який досягається за умови, що змінні х та у пов’язані рівнянням (рівнянням зв’язку).

Відшукування умовного екстремуму можна звести до дослідження на звичайний екстремум так званої функції Лагранжа , де - невизначений постійний множник (множник Лагранжа).

Необхідні умови екстремуму функції Лагранжа мають вигляд:

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо координати стаціонарної точки .

У кожній стаціонарній точці потрібно перевірити виконання достатньої умови екстремуму: якщо в точці визначник

,

тоді точка є точкою максимуму і , а якщо , тоді точка є точкою мінімуму і

19. Умовний екстремум фкз,

Метод Лагранжа повторюється на випадок ФКЗ:

Складемо функцію Лагранжа

Необхідні умови умовного екстремуму:

Розв’язком системи є критична точка

Введемо матрицю Якобі за умови диференційованості (2 рази) функцій

Припустимо, що ця матриця має ненульовий мінор m-го порядку. Позначимо диференціали змінних, що відповідають базисним стовбцям:

Диференціали вільних змінних при цьому позначаються:

Складемо вираз , де базисні диференціали визначаються через . Якщо , - т. умовного мінімуму. Якщо , - т. умовного максимуму.

20. Існування, неперервність, диференційованість неявної функції, що задана одним рівнянням

Нехай на множині задана ф-ція та розглядається рівняння . Нехай існує функція така, що . Тоді ф-цію називають неявною ф-цією, що задається рівнянням .

Теорема 1. Нехай неперервна в околі точки . В околі точки існує і неперервна в т. . . Тоді , який є розв’язком рівняння . При цьому цей розв’язок є неперервним на і виконується . Якщо при цьому в , неперервні в т. , то диференційована в т. і виконується:

Заув. Для неявної ф-ції можна довести її існування, але не можна, взагалі кажучи, знайти явний вираз. Знайти похідну функції можна.

Заув. Якщо умови теореми 1 вик-ся в деякій області , то має місце формула:

Доведемо формулу (1). Із існування неперервності частинних похідних в т. випливає диференційованість F в т. .

У силу неперервності маємо, якщо .

Заув. Формула (1) дає можливість написати рівняння дотичної до плоскої кривої, заданою рівнянням

.

Висновок. Градієнт в т. є нормаллю до дотичної (кривої) в т. .

Теорема 2. Нехай: 1) Ф-ція , неперервно диференційована в .

2) , тоді такі,що розв’язок рівняння , , - диференційована в т.

Якщо умови теореми 2 виконуються в деякий області, маємо:

21. Неявні функції, що задаються системою рівнянь.

Нехай неявна функція задається сис-ю рівнянь. . Встановлюємо умови при яких сис-ма(1) однозначн.розв’яз.відносно неявних фу-ій y. . y=f(x)

Введемо матрицю Якобі: .Визначн. цієї матриці – Якобіан і позн.

Теорема. Нехай ф-ії F_i(x,y) неп. Диференційована в околі т.(x⁽⁰⁾,y⁽⁰⁾).

F_i(x⁽⁰⁾,y⁽⁰⁾)=0. ,тоді існують околии т.x⁽⁰⁾ і т.y⁽⁰⁾ , такі що ,який є розв.сис-ми F_i(x,y)=0. Насправді, є неп.і диф.в O(x⁽⁰⁾).

Заув. Част.похідні неявн.ф-ій можна знайти як розв’язок наст.сис-ми:

. Знахдимо . Головний визначник сис-ми-це якобіан.Якщо він не дорівн. 0, то сис-ма однозначн роз’яз. Відносно част.похідних неявн ф-ій.