10. Диференціювання складеної функції кількох змінних

Диференціал першого порядку ФКЗ визначається за формулою:

Теорема: Якщо функції диференційовні в в точці .

Нехай функція диференційовна в точці , тоді складена функція диференційовна в та виконується в точці

Доведення

Зауваження

Нехай функції диференційовні в точці .

диференційовна в точці , тоді диференційована в точці та виконується:

Остаточний результат можна узагальнити наступним чином:

.

11. Повний диференціал фкз, інваріантність його форми та геом. Зміст.

Диференціал першого пор. ФКЗ f(x), :

Теор.(інв. ф-ми першого диф-лу): якщо ф-ї , , мають в т. неп-ні част. пох., та ф-я y=y(x), має неп-ні част. пох. в т. , де , то складена ф-я y(x(t)) диф-на в т. та виконується:

Ч аст. пох-на по x - це кутовий коеф дотичної до кривої, яка є перерізом графіка ФКЗ і площини .

, ,

,

Перший диференціал ф-ї двох змінних = приросту аплікати дотичної площини до графіка ФКЗ в точці .

Питання №12 Похідна за напрямом та градієнт функції кількох змінних.

_{Розглянемо функцію} виділимо точки та Візьмемо деякий вектор Утворимо промінь у точці і - його напрямний вектор

Розглянемо звуження функції на промінь . Похідною ФКЗ в напрямку називається

Зауваження:

(вектор позначили через ), то Якщо функція диференційована в точці , то композиція функцій диференційована в точці ;

Означення:

Градієнтом функції називається вектор

Зауваження:

Введені поняття легко узагальнюються на випадок n-вимірного простору:

Зауваження: похідна за напрямом набуває максимального (мінімального) значення, якщо напрямок збігається з напрямком градієнта функції в заданій точці. Це значення дорівнює модулю градієнта або (мінус модулю градієнта).

13. Частинні похідні та диференціали вищих порядків функції кількох змінних.

Теорема: Якщо функція f(x,y) визначена разом з своїми частинними похідними f_x , f_y в т.(х₀, у₀) та мішані похідні f_xy , f_yx неперервні в т.(х₀, у₀), то вони рівні:

f_xy (х₀, у₀) = f_ух (х₀, у₀).

Доведення: Введемо

Нехай функція f(x), х є Rⁿ диференційовна

Ця функція є функцією 2n - змінних

Обчислимо диференціал від вказаної функції, вважаючи, що диференціали незалежних змінних фіксовані.

Означення: Другим диференціалом функції f в деякій точці наз.

Розрахункові формули:

Частинний випадок формули(для функцій 2-х зміннних):

14. Формула Тейлора двох змінних.

_{Теорема 1. Нехай є функція} неперервна разом із своїми частинними похідними до -го порядку включно, у деякому околі точки . Тоді

виконується:

_де, - многочлен Тейлора , а - залишковий член у формі Пеано.

Доведення:

_Нехай зафіксовані так, що

_{Тоді точки виду лежать на відрізку. Що з’єднує точки}

і , а тому усі належать околу . Звідси має зміст суперпозиція .

Очевидно, що (1)

Оскільки функція f має в околі точки m неперервних часткових похідних, то згідно теореми про похідні складної функції, функція F має на відрізку m неперервних часткових похідних, тому для неї виконується формула Тейлора порядку m-1 з залишковим членом у формі Лагранжа:

Виразивши похідні через похідні функції і підставивши у формулу наведену вище , отримаємо необхідну формулу Тейлора для функції . З (1) і враховуючи те, що

За індукцією отримаємо:

Враховуючи, що отримаємо:

Використовуючи попередні рівняння:

. Теорема доведена!