52. Інтервал збіжності степеневого ряду. Властивості степеневих рядів.

Р

52

адіусом збіжності степеневого ряду називається число , що: степеневий ряд абсолютно збіжний на і є розбіжним на

Формули для знаходження R:

Доведемо першу формулу:

за ознакою Д'Аламбера збіжний коли  Область збіжності:

Доведено!

Властивості степеневих рядів:

1. Степеневий ряд є рівномірно збіжним на будь-якому відрізку , що міститься в інтервалі збіжності степеневого рядку

2. Сума степеневого рядку є неперервною функцією на будь якому відрізку

3. Степеневий ряд можна почленно інтегрувати рядом на будь-якому відрізку , що

4. Степеневий ряд можна почленно диференціювати на інтервалі збіжності при чому новий ряд буде мати той самий інтервал збіжності. (степеневий ряд можна диференціювати n раз)

Зауваження!

Властивість 4 має місце, коли диференціюємо m раз

,

53. Розвинення функції в ряд Тейлора. Розвинення елементарних функцій в ряд Маклорена

Теорема. Якщо нескінченно диференційована в , , то ця функція може бути розвинена у збіжний ряд Тейлора , якщо , де - залишковий член у формі Лагранжа.

Доведення. За формулою Тейлора ,

Розвинення функції в ряд Маклорена:

Розвинення елементарних функцій в ряд Маклорена:

1. 

Доведення.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

54. Ортогональні системи функцій

Система функцій , інтегрована на називається ортогональною системою функцій на , якщо (скалярний добуток)

Приклади ортогональних систем

Дана система ортогональних функцій на

Доведення:

Доведено.

2)

Дана система є ортогональною на

(див. попер)

3)

система – ортогон. на

4)

система ортогон. на

55. Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій.

Система ф-й { }, n є N інтегрованих на [a,b] , якщо

Теорема. Нехай ф-я f(x) інтегрована на [a,b]. { } – система ортогон. ф-й на [a,b] та має місце рівність , де ряд є рівномірно збіжним [a,b], тоді коефіцієнти ряду визн за формулою: n є N (2)

Дов: Функц. Ряд рівномірно збіжний на [a,b]. Проінтегруймо ряд почленно.

=

Коефіцієнти C_n, що обчисленні для f(x) по ортогональній системі функцій { }, де ф-я (2) наз коеф. Фур*є ф-ї f(x) по сис-мі { }.

Ряд наз рядом Фур*є ф-ії f(x) на { } та пишуть

f (x) .

Розглянемо задачу заміни ф-ї на ортогональні многочлени вигляду

Похибка в середньому квадратичному.

-- досягається мінімум.

56. Наближення у середньому заданої ф-ції за доп. Ортогон. Многочл.

Ряд наз. рядом Фур’є ф-ції f(x) по системі ортогональних функцій . Пишуть .

Розглянемо задачу заміни ф-ції на ортогональний многочлен вигляду:

- похибка(середньоквадратичне)

досягає мінімуму, коли

_Де

57. Ортогональність тригонометричної системи функцій.

або – тригонометрична система функцій. Доведемо, що вона є ортогональною на відрізку .

За означенням система функцій інтегровних на називається ортогональною системою функцій на якщо

Отже задана система ф-й є ортогональною.