46. Інтегральна ознака Коші збіжності числових рядів з додатними членами. Узагальнений гармонічний ряд.

Я кщо f(x) невід’ємна, , f(x) – спадна, то ряд збіжний тоді і тільки тоді, коли невласний інтеграл збіжний.

Приклад: Узагальнений гармонічний ряд .

Використ. інтеграл. ознаку Коші:

Отже, ряд збіжний, якщо р>1, розбіжний, якщо .

Заув.

47. Абсолютно та умовно збіжні знакозмінні числові ряди.

О. ЧР наз знакозмінним, якщо він містить додатні і від’ємні члени.

О. Знакозмінний ряд наз абсолютно збіжним, якщо є збіжним ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Теорема. Якщо числовий ряд є абсолютно збіжним, то він є і просто збіжним (за означ.).

Доведення. , де сума дод членів, сума від’ємних членів.

О. Якщо ЧР є зб, але не є абсолютно збіжним, то ряд наз умовно зб.

Теорема Рімана. Якщо ряд є абсолютно збіжним, то він залишається абсолютно збіжним при будь-якому переставленні його членів, при чому сума ряду не змінюється.

Якщо ряд є умовно зб., то для будь-якого числа а можна так переставити члени ряду, що сума його буде дорівнювати а, більше того можна так переставити члени ряду, що новий ряд стане розб.

48. Теорема Лейбніца про збіжність знакопереміжних числових рядів.

_{Теорема:} Якщо ряд _{має (послідовність строго спадна), то}

_{(ряд є збіжним та сума ряду S задовольняє умову}

_{Доведення:}

_{За теоремою Веєрштрасе}

_{Зауваження: Якщо ряд задовольняє умови теореми Лейбніца, то можна оцінити похибку, яка отримується при заміні ряду на його частинну суму}

_{Похибка}

49. Область збіжності фр. Рівномірна збіжність фр.

Озн.: ФР наз. ряд вигляду

Озн.: Областю збіжності ФР наз. множина значень аргумента при яких ФР перетворюється в збіжний числ. ряд.

= , = S(x)

S(x) = + ,

– залишок ФР, позн.

зб. , = 0,

Озн.: ФР наз. рівномірно збіжним на множині X, якщо для >0 та виконується: < , = <

Як ми бачимо y=S(x) не виходить за межі y=S(x)+ та y=S(x)-

50. Ознака рівномірної збіжності функціонального ряду. Властивості рівномірно збіжного функціонального ряду.

Означення:

Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на множині Х, якщо

Теорема Вейєрштраса(ознака рівномірної збіжності ФР)

ФР є рівномірно збіжним на відрізку , якщо цей ряд мажорований на цьому відрізку, тобто існує збіжний ЧР з додатніми членами

Властивості рівном. зб. ФР

1. якщо ФР є рівномірно збіжним на , - неперервна на то S(x) - неперервна на

2. якщо ряд є рівномірно збіжним на , - неперервна на , то ФР можна почленно інтегрувати, тобто

3. якщо ФР є збіжним, члени ряду диференційовні на , ряд скалдений з похідних членів ряду рівномірно збіжного на , то :

5 1. Степеневі ряди. Теорема Абеля.

Озн. Степеневим рядом наз-ся ФР вигляду

Т еорема Абеля. 1. Якщо СР є збіжним при деякому значенні , то він є абсолютно збіжним для . 2. Якщо СР є розбіжним для деякого значення , то цей ряд є розбіжним для .

Доведення. 1.

2. Від супротивного. Припустимо, що , але СР в т. збіжний, тоді повинна бути збіжність в т. , суперечність!

В исновок.

Область збіжності СР симетрична відносно т.0.

Озн. Радіусом збіжності СР наз-ся число : СР є абсолютно збіжн. На і є розбіжним на . Формули для знаходження :

1. 2.

Доведемо формулу 1.

Властивості степеневих рядів: 1. СР є рівномірно збіжним на , який міститься в інтервалі збіжності . 2. Сума СР є неперервною ф-цією на . 3. СР можна почленно інтегрувати на . 4. СР можна почленно диференціювати на інтервалі збіжності , при чому новий ряд буде мати той самий інтервал збіжності. Заув. Вл-ть 4 має місце у випадку, коли ряд n-раз диференційований.