Задача 3

21–30. Даны вершины А₁(х₁, у₁, z₁), А₂(х₂, у₂, z₂), А₂(х₃, у₃, z₃), А₄(х₄, у₄, z₄) пирамиды.

21.	А1(3, –2,8),	А2(–1,3,2),	А3(2,0, –1),	А4(4, –2,3).
22.	А1(2, –1,8),	А2(3,4,4),	А3(2, –1,2),	А4(6, –1,1).
23.	А1(8,5,0),	А2(–3,7, –5),	А3(–4,1,3),	А4(–2,1, –4).
24.	А1(0,1, –1),	А2(3, –4,4),	А3(6, –5,3),	А4(5,2, –1).
25.	А1(3,2, –3),	А2(3, –1, –1),	А3(0,2, –2),	А4(1, –2,3).
26.	А1(0,6, –1),	А2(3,0,5),	А3(4, –1,0),	А4(2,1, –4).
27.	А1(2, –3,2),	А2(0,5,4),	А3(5,6,1),	А4(–2, –2,3).
28.	А1(6, –2,0),	А2(6,2, –1),	А3(2, –1,4),	А4(–2,7,4).
29.	А1(1,4, –2),	А2(–3,0,3),	А3(8,0,1),	А4(1, –4,3).
30.	А1(1,8,2),	А2(4, –1,2),	А3(–1,5,3),	А4(3,3, –3).

Уровень I

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1. длину ребра А₁А₂;

2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3. уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Уровень II

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1. длину ребра А₁А₂;

2. угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3. уравнение грани А₁А₂А₃ и ее площадь;

4. уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

Уровень III

Построить пирамиду в декартовой ортонормированной системе координат и найти:

1. Вектор А₄М, где М – центр тяжести основания А₁А₂А₃ пирамиды;

2. Проекцию вектора А₄М и А₁А₄;

3. Угол между векторами А₄М и А₄N, где А₄N – медиана грани А₁А₃А₄;

4. Длину медианы А₄N.

Задача 4

31 – 40. Составить и привести к канонической форме уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется заданное условие. Сделать рисунок.

Уровень I

31 – 35. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси абсцисс.

31. А (0,1)

32. А (0,2)

33. А (0,-1)

34. А (0,-2)

35. А (0,3)

36 – 40. Квадрат расстояния до точки А равен квадрату расстояния до оси ординат.

36. А (1,0)

37. А (2,0)

38. А (-1,0)

39. А (-2,0)

40. А (3,0)

Уровень II

31. Сумма квадратов расстояний до точек А(1,1) и В (–3,3) равна 20.

32.Сумма квадратов расстояний до точек А(3,0), В(0,4) и С (–1, –1) равна 28.

33. Сумма квадратов расстояний до точек А(3,–3), В(–1,1), С(–1,0) и D(2, –4) равна 58.

34. Квадрат расстояния до точки А(0,3) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

35. Сумма расстояний до точек А(6,0) и О (0,0) равна 10.

36. Квадрат расстояния до точки А(2,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

37. Сумма квадратов расстояний до сторон прямоугольника, образованного прямыми х = 0, у = 0, х – 4 = 0, у – 2 = 0, равна 20.

38. Квадрат расстояния до точки А(0,2) на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

39. Разность расстояний до точек А(0,10) и О(0,0) равна 8.

40. Квадрат расстояния до точки А(3,0) на 16 больше квадрата расстояния до оси координат.

Уровень III

Привести к канонической форме указанные уравнения кривых второго порядка, определить тип кривой, сделать чертеж.

Найти координаты фокуса кривой, составить уравнения директрис.

В случае эллипса или гиперболы найти центр кривой, ее полуоси, эксцентриситет. В случае гиперболы составить уравнения ее асимптот. В случае параболы найти координаты ее вершины и параметр p.

31. 5X² + 9Y² – 30X + 18Y + 9 = 0.

32. 16X² + 25Y² + 32X – 100Y – 284 = 0.

33. 4X² + 3Y² – 8X + 12Y – 32 = 0.

34. 16X² – 9Y² – 64X – 54Y – 161 = 0.

35. 9X² – 16Y² + 90X + 32Y – 367 = 0.

36. 16X² – 9Y² – 64X – 18Y + 199 = 0.

37. 4X² – 8X – Y + 7 = 0.

38. X² – 12X + 6Y – 42 = 0.

39. 2Y² – 12Y – X + 14 = 0.

40. 9X² + 25Y² – 18X + 100Y – 116 = 0.