Кафедра персональной электроники

Г. П. Раевский

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

к практикуму

по курсу

ТЕХНИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И АНТЕННЫ

1. Элементы векторного анализа

Тема занятия Элементы векторного анализа, используемые при расчете электромагнитных полей.

Электромагнитное поле характеризуется силами, действующими на электрические заряды. Поскольку сила – векторная величина, для математического описания ЭМ полей используется аппарат векторного анализа. С его помощью проводится математическое моделирование ЭМ полей, как скалярных, так и векторных [1].

Графически векторное поле может быть представлено в виде набора их силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней.

Уравнение линии вектора А записывается в виде векторного произведения:

или (1.1)

Ниже приведены основные операции векторного анализа для прямоугольной (декартовой) системы координат.

………………………………………………………………….

Дифференциальные операция со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью символического векторного оператора Гамильтона . Символическое умножение на него скалярной или векторной функции означает дифференцирование по координатным составляющим. В декартовой системе координат оператор Гамильтона записывается как

(1.5)

С его помощью основные операции векторного анализа записываются как:

- умножение вектора на скалярную величину,

- скалярное произведение двух векторов,

- векторное произведение двух векторов.

Дифференциальные векторные операции второго порядка записываются с помощью оператора - так называемого Набла квадрат. В декартовой системе координат этот символический оператор второго порядка записывается как

(1.6)

2. Основные законы электромагнЕтизма

Тема занятия. Основные законы электромагнетизма. Уравнения Максвелла. Граничные условия.

Классическая теория электромагнитного поля базируется на уравнениях Максвелла, сформированных им на основе имевшихся к тому времени данных многочисленных экспериментальных исследований электрических и магнитных явлений.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

(2.1)

В дифференциальной форме:

(2.2)

К основным уравнениям электромагнитного поля относится также уравнение непрерывности тока:

в интегральной форме:

, 2.3)

в дифференциальной форме:

(2.4)

Принятые обозначения:

- вектор напряженности электрического поля, В/м;

- вектор напряженности магнитного поля, А/м;

- вектор электрического смещения (электрической индукции), Кл/м²;

- вектор магнитной индукции, Тл;

- удельная проводимость вещества, См/м;

- объемная плотность электрического заряда, Кл/м³;

- вектор плотности стороннего электрического тока, А/м².

Правая часть первого уравнения Максвелла есть сумма токов различной природы. Выражение

, (2.5)

определяет сумму плотности тока смещения и поляризационного тока .

Плотность тока проводимости определяется как

.

Материальные уравнения для электрического и магнитного полей:

(2.6)

- определяют соотношения между векторами индукции и напряженности поля через абсолютные проницаемости сред, диэлектрическую и магнитную .

На практике обычно пользуется значением относительной (безразмерной величины) проницаемости среды: диэлектрической - , и магнитной - . При этом

Ф/м, Гн/м.

Проницаемости сред могут быть функциями координат (неоднородные среды), зависеть от частоты колебания поля (дисперсионная зависимость) и от величины поля (нелинейные среды). Если параметры среды не зависят от поляризации поля, то среда является изотропной, если зависят – анизотропной.

Для определения значений поля (например, ) на границе двух сред его представляют в виде суммы двух составляющих: - нормальной (перпендикулярной) границе раздела и - тангенциальной (касательной) ей.

Для нормальных составляющих справедливы соотношения:

(2.7)

при отсутствии поверхностных электрических зарядов.

Если на границе раздела сред равномерно распределен электрический поверхностный заряд с удельной плотностью , то

(2.8)

Для тангенциальных составляющих электрического поля справедливо

(2.9)

Если вторая среда – идеальный проводник (с бесконечной проводимостью), то E_1τ=0 и на границе существует только нормальная составляющая электрического поля.

Для магнитной составляющей в общем случае

, (2.10)

На поверхности идеального проводника вводится понятие поверхностного электрического тока , измеряемого в А/м:

, (2.11)

численно равного нормальной составляющей вектора поля на границе и ориентированного перпендикулярно ему.