Глава 7. Элементы квантовой статистики. Проводимость металлов. §1 Понятие о квантовой статистике.

(вырожд сост – колво частиц = колву состояний

Невырожд сост – колво состояний >> колва частиц)

Классическая статистика рассматривает идеальный газ:

f(E,T) = A e ^–E/KT

невырожденные системы:

N/G <<1

N – число частиц, G – число состояний

Рассмотрим движение отдельных частиц. Величины изменяются непрерывно.

Квантовая статистика изучает вырожденные системы.

Условие вырождения: N/G~1

Величины изменяются дискретно. Квантовая статистика изучает совокупности тождественных частиц (частицы различить невозможно). Замена и перемена 1 частицы другой в системе ничего не меняет.

Функция распределения:

1)Фермионы (S=1/2)(например электрон)

f(E,T) = 1/ (e ^E-μ/KT+1) – функция Ферми-Дирака

её физический смысл: вероятность того что уровень с энергией E при температуре T занят электроном.

μ – химический потенциал – работа, которую нужно затратить чтобы в изолированной системе с V = const изменить N на 1

2)Бозоны (S=0,1)

f(E,T) = 1/ (e ^E-μ/KT–1) – функция Боза-Эйнштейна

фермионы – индивидуалисты, бозоны – коллективисты. Для фермионов работает принцип Паули (нет 2х электронов в 1 атомном состоянии), бозоны не подчиняются принципу Паули, они наоборот охотней занимают уровни где уже есть электрон

§2 Распределение коллективизированных электронов в металле по квантовым состояниям при T=0 и при Т>0.

1)T=0

Эл. Газ в металле находится в потенциальной яме.

Рис*

N=nV (электронов)

Занято N уровней. Должны быть заняты самые низкие энергетические уровни. На них только 2 электрона.

E_f – уровень ферми – максимально возможная энергия в металле.

E_f = μ = (ħ²/2m)(3nPi²)^2/3

E_f = 5 эв n = 5 *10 ²⁸ 1/м³

n = (10 ²⁸ – 10 ²⁹)

график функции распределения: по ф.Ферми-Дирака: температуры низкие – энергии малые.

Рис*

E<E_f стремится к 1

E>E_f стремится к 0

E=E_f = 1/2

Aвыхода в классике отсчитывалась от дна, а в квантовой механике работы выхода отсчитывается от уровня Ферми

2)Т>0

Тепловое движение может сообщеть E=3KT/2 , но принять ее электрон не может. Чтобы ее принять электрон должен перейти на вышележащий уровень, но все такие уровни заняты электронами. Ее может принять только электрон лежащий на уровне Ферми или вблизи него.

(10 ^-5 от всех электронов ???)

Низкие температуры

Рис*

Высокие температуры => Е большие

f(E,T) = 1/ (e ^E-Ef/KT+1)

величина e ^E-Ef/KT принимает большие значения >>1

f(E,T) = (e ^-E-Ef/KT) = e ^Ef/KT e ^-E/KT = const e ^-E/KT

(//??? функция – экспонента –//) ф-я Максвелла-Больцмана

Система эл. Газа стала невырожденной

E_f = KT

T _f = E_f / k = (5эв 1,6 10 ^-19 Дж/эв)/(1,38 10 ^-23Дж) ~ 10⁴

Температура плавления ~ 10 ³

§3 Динамика электрона в кристаллической решетке. Эффективная масса электрона.

Отношение неопределенностей

Электрон перемещается в кристаллической решетке, электрон квантовая частица => характ. Волна.

Если решетка идеальная, электрон перемещается беспрепятственно, однако такого не бывает:

∆x∆P_x>= ħ

P_x = ħk

k = 2Pi/ ħ – волновой вектор

ħ ∆x ∆k >= ħ ∆x ∆k >= 1 ∆x >= 1/∆k

если у электрона определена область локализации – движение характеризует волновой пакет.

Рис* вероятность в А мак больше

Vгр = dω/dk

E = ħω ω = E/ħ

Vгр = 1 dE/ħ dk

Эл. Поле (E напряженность)

F = eE (вект)

dA = FVгрdt - эта работа идет на увеличение E кин:

dA=dE

FVгрdt = dE dk/dk

F (1/ħ) (dE /dk) dt = (dE /dk) dk

dk/dt = F/ ħ

найдем ускорение:

a = 1/ ħ (d²E /dk²) (dk/dt)

a = (F/ ħ²) (d²E /dk²)

a=F/m =>

mэф = ħ²/(d²E /dk²) = m* - учитывает действие поля решетки на электрон (масса электрона в кристалле)