§3 Отражение и прохождение мкч через Потенциальный барьер.

1.Потенциальный барьер – область, в которой Епот больше чем в остальных точках пространства.

U={U₀ x>=0

0 x<0}

1)Eкин>U₀

2)Eкин<U₀

По требованию непрерывности

ψ₁(0) = ψ₂(0)

ψ₁’(0) = ψ₂’(0)

2.Уравнение Шредингера и его решение

1)я область

U(x)=0

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m/ħ²) E ψ = 0

(2m/ħ²) E = k₁²

k₁ = sqr ((2m/ ħ²)(p²/2m)) = p/ ħ = p2Pi/ ħ2Pi = 2Pi/λ – волновое число

2)я область

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + U₀ ψ = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)=0

2m (E - U₀) ψ/ ħ² = k₂

{(d² ψ /dx² ) + k₁²ψ = 0

(d² ψ /dx² ) + k₂²ψ = 0}

Решение

1)ψ₁(x) = A₁ e ^ik1x + B₁ e ^–ik1x - отражается от потенциальной ступени

Волн. Пад. Отр. Волн.

2)ψ₂(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^–ik2x - ни от чего не отражается B₂=0

Ψ₁ (x,t) = A₁e ^{–i/ ħ (Et )} e^ik1x + B₁ e ^{–i/ ħ (Et )} e^-ik1x

Ψ₂ (x,t) = A₂e ^{–i/ ħ (Et )} e^ik2x

3.Микро и макро частицы на грани 2х сред

Макрочастицы:

T1=mV₁²/2 U=0

T2=mV₂² – U₀

mV₂² < mV₁²/2

V₂ < V₁ T₁>U₀

T₁<U₀ тогда mV₂²< 0

V2 – мнимая величина: во вторую область макрочастица не пройдет

Микрочастица:

ψ₁(x) = A₁ e ^ik1x + B₁ e ^–ik1x

ψ₂(x) = A₂ e ^ik2x

1)E> U₀

мкч может пройти во вторую область, а может отразиться

|ψ₁(x)|², |ψ₂(x)|²

2)E< U₀ тоже самое

4.Определение коэффициента отражения r и коэффициента прозрачности d

R=N’/N=число отраженных частиц/число падающих частиц = |B₁|²/|A₁|²

D=N’’/N=число прошедших частиц/число падающих частиц = |A₂|²/|A₁|²

N=nV₁ n-концентрация

Скорость частиц 1 и 2 разная V₁ V₂

N,N’,N’’ – число частиц, падающих на 1 площади в 1 времени

A₁ – характеризует плотность потока падающих частиц

A₁=1 R= |B₁|²

D = |A₂|² (V₂/V₁) = |A₂|² (k₂/k₁)

(V₂/V₁) = (P₂/P₁) = (k₂/k₁)

1+ B₁= A₂ => ψ₁(0) = ψ₂(0)

ik₁A₁ e ^ik1x + ik₁B₁ e ^-ik1x = ik₂A₂ e ^ik2x

ψ₁’(0) = ψ₂’ (0)

k₁(1+ B₁)= k₂A₂

{1+ B₁= A₂

(1+ B₁)= (k₂ / k₁)A₂ }

2 = A₂(1+ (k₂ / k₁))

A₂ = 2 k₁/ k₁+ k₂

B₁= A₂ - 1 = (2 k₁/ k₁+ k₂) – 1 = 2 k₁ - k₁ - k₂/ k₁+ k₂

B₁= k₁ - k₂/ k₁+ k₂

R=| k₁ - k₂/ k₁+ k₂|²

D = (4 k₁² / (k₁+ k₂)²) (k₂/ k₁)

D = 4 k₁ k₂/ (k₁+ k₂)²

R+D=1

D = D₀ e ^{–(2/ ħ)sqr(2m(U0 - E)) L}

D₀ = 1 обычно

5.Частные случаи

1)U₀ = 0 => k₁= k₂ R=0 D=1 мкч проходит в II

2) U₀ = E макрочастица проходит в II со скоростью V=0

k₁!= 0 k₂= 0

R=1 D=0

3) E > U₀ k₁-действ.число k₂-дч

k₁ > k₂ λ₁ < λ₂

4) E < U₀ | ψ _II|² != 0 микрочастица может пройти во II область

k₁-действ.число k₂-мнимое число

R = | k₁ - ik/ k₁+ ik|² = (k₁ - ik/ k₁+ ik)( k₁ + ik/ k₁- ik) = 1

D = 0 ψ _II =A₂e^-kx

Вектор Умова-Пойнтинга = 0

Аналог – полное внутреннее отражение

§4 Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер конечной ширины. Туннельный эффект.

1)

U(x) = {0, x<0, x>L

U0, 0<=x<=L}

2)Уравнение Шредингера

Обл. I и III

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) = E ψ

(d² ψ /dx² ) + ( 2m E ψ/ ħ² ) = 0

k_1,3 = sqr (2mE / ħ²)

(d² ψ /dx² ) + k_1,3² = 0

Обл II

(- ħ²/2m) (d² ψ /dx² ) + U₀ ψ = E ψ

(d² ψ /dx² ) + (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)=0

k₂ = sqr (2m (E - U₀) ψ/ ħ²)

(d² ψ /dx² ) + k₂²ψ=0

Решение:

ψ _I(x) = A₁ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x

ψ _II(x) = A₂ e ^ik2x + B₂ e ^–ik2x

ψ _III(x) = A₃ e ^ik1,3x + B₃ e ^–ik1,3x

B₃ = 0

Анализ решения уравнения Шредингера

1)E>U₀

k_1,3 и k₂ – действительные числа

k_1,3 > k₂ λ = 2Pi/k λ_1,3 < λ₂

2) E<U₀

k_1,3– действительные числа и k₂ – мнимое. k₂ = ik

Энергия микрочастицы принимает любые значения

ψ _I(x) = A₁ e ^ik1,3x + B₁ e ^–ik1,3x

ψ _II(x) = A₂ e ^–kx + B₂ e ^kx B₂=0

ψ _III(x) = A₃ e ^-ik1,3x

микрочастица «просачивается» через потенциальный барьер

Туннельный эффект

Холодная эмиссия электрона из металла

Вн. Эл поле меняет профиль потенциальной ямы.