14. Унитарные преобразования. Косинусные преобразования.

Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований когда линейный оператор точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности.

Дискретное косинусное преобразование — одно из преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с Дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Математически преобразование можно осуществить умножением вектора на матрицу преобразования. При этом матрица обратного преобразования с точностью до множителя равна транспонированной матрице. Матрицы выбирают так, чтобы преобразование было ортонормированным, а постоянный множитель равен единице. В компьютерных приложениях это не всегда так.

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырех типов ДКП:

ДКП для вектора из 8 чисел часто называют ДКП -2₈. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности ДКП -2₈ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого ДКП -преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для ДКП -2₈ и других вариантов ДКП с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

Существуют аналоги ДКП, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить эффективность вычислений. Преимущество таких аналогов — более высокая скорость.

Дискретное косинусное преобразование (ДКП)

15. Унитарные преобразования. Преобразование Адамара.

У нитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований когда линейный оператор точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности. \ Самым простым унитарным преобразованием является преобразование Адамара. Матрица для случая двух случайных величин будет иметь вид:

В квадратной матрице Адамара все элементы равны либо +1, либо -1, а строки столбцы это ортогональные векторы

Легче ее строить если NxN = степени 2 (самая простая – H₂)

Матрицу Адамара размерности 4х4 элементов легко построить из матрицы Адамара размерностью 2х2 элемента:

Пользуясь данным соотношением можно построить матрицу Адамара любой размерности , где - любое целое положительное число. Анализ изображений выполняется на основе разделимого преобразования: .