Элементы механики жидкостей.

(Механика жидкостей и газов. Давление в жидкости и газе. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли и следствия из него. Вязкость. Методы определения вязкости. Движение тел в жидкостях и газах. Внутреннее трение)

Линии и трубки тока, уравнение неразрывности

Гидродинамика занимается изучением движения несжимаемых жидкостей и их взаимодействия с твердыми телами. Для описания движения несжимаемых жидкостей, вводят понятие линий тока.

Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором скорости , называются линиями тока. Густота линий пропорциональна величине скорости в данном месте.

В общем случае величина и направление вектора может меняться с течением времени. Если же вектор скорости в каждой точке жидкости остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц жидкости.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой тока. Ясно, что жидкость не может вытекать или втекать через боковую поверхность трубки тока. Так как жидкость несжимаема, то количество жидкости, протекающее через любое поперечное сечение одной и той же трубки тока одинаково. Следовательно, можно записать:

(1.66)

где ‑ поперечное сечение трубки тока, ‑ скорость жидкости для этой трубки тока. Данное уравнение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей, идеальной жидкости трубку тока очень малого сечения, так, чтобы скорость в любой точке этого сечения можно было считать одинаковой (см. рис. 1.31). Далее, в этой трубке тока выделим элементарный объем , ограниченный сечениями и . Через промежуток времени этот элементарный объем переместится вдоль трубки тока, но его объем останется тем же (т.к. жидкость несжимаема), в то время как сечение пройдет путь , а сечение ‑ . Изменение энергии этого элементарного объема складывается из изменения кинетической энергии и изменения потенциальной энергии:

(А)

Здесь ‑ плотность жидкости, ‑ масса выделенного объема жидкости, ‑ скорость жидкости в начальном положении элементарного объема, ‑ в конечном положении, ‑ кинетическая, ‑ потенциальная энергия элементарного объема жидкости в момент времени , ‑ кинетическая, ‑ потенциальная энергия этого объема в момент времени .

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над элементарным объемом силами давления. Т.е. можно записать:

(Б)

Приравнивая ( ) и ( ), получим:

Преобразовав полученное равенство, запишем:

Так как сечения мы выбирали произвольно, то можно записать:

(1.67)

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли и читается оно как

в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

Для горизонтальной линии тока уравнение Бернулли принимает вид:

Внутреннее трение (вязкость) жидкости

Рассмотрим теперь течение реальной жидкости, обладающей внутренним трением. Как показывает опыт, в обычных условиях (в условиях ламинарного потока), течение жидкости будет происходить послойно. Т.е. жидкость разделится на слои, параллельные дну, и каждый слой имеет свою скорость.

Слой находящийся непосредственно у дна будет неподвижен. Следующий слой будет иметь некоторую скорость. Затем слой с еще большей скоростью и т.д. В результате, скорость будет изменяться вдоль направления, перпендикулярного вектору скорости (см. рис. 1.32). Такое изменение скорости обусловлено силами молекулярного взаимодействия, к оторые приводят к возникновению силы трения, касательной к поверхности слоя. Эта сила трения будет увлекать нижележащий слой, и тормозить выше лежащий слой. Величина этой силы определяется выражением:

где ‑ площадь поверхности соприкасающихся слоев, ‑ коэффициент вязкости, коэффициент внутреннего трения, динамическая вязкость или просто вязкость. Отношение называют градиентом скорости:

Он показывает быстроту изменения скорости по пространственной координате. Обычно уравнение для силы трения записывают в виде:

(1.68)

В этом виде оно называется уравнением Ньютона для вязкого трения. Коэффициент вязкости имеет размерность:

Жидкости, вязкое трение которых описывается уравнением (1.68), называются ньютоновскими жидкостями. В противном случае ‑ неньютоновскими.

Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса.

Мы уже говорили, что стационарное течение жидкости является ламинарным, т.е. слоистым. Увеличение скорости течения вязкой жидкости приводит к образованию завихрений, вихрей ‑ турбулентности. При турбулентном течении скорость жидкости в данной точке уже не постоянная величина. Она меняется по величине и направлению случайным, хаотическим образом.

Характер течения жидкости в трубе (ламинарный или турбулентный) зависит от свойств жидкости, ее скорости и размеров трубы. Границу здесь определяет безразмерный параметр, называемый числом Рейнольдса (Re):

(1.69)

где ‑ плотность жидкости, ‑ скорость ее течения, ‑ диаметр трубы, ‑ динамическая вязкость. Если рассчитанное число Рейнольдса больше некоторого критического числа Рейнольдса , то движение жидкости будет турбулентным. Если ‑ турбулентным. Для гладких цилиндрических труб . Очень часто в рассмотрение вводят не динамическую вязкость, а кинематическую ‑ ‑ .

Ламинарное течение вязкой жидкости в круглых трубах.

Формула Пуазейля

Р ассмотрим стационарный поток жидкости через трубу, радиусом (см. рис. 1.33). В этом потоке выделим объем ‑ коаксиальный цилиндр, радиуса . Вследствие симметрии задачи, ясно, что частицы жидкости, равноудаленные от оси трубы, будут иметь одинаковую скорость.

Для получения зависимости скорости течения жидкости по поперечному сечению трубы, воспользуемся условием стационарности. Жидкость движется с постоянной скоростью, следовательно, без ускорения, следовательно, сумма сил, приложенных к выделенному объему равна нулю. На выделенный объем (см. рис. 1.33) действуют силы давления и силы трения:

Из условия стационарности следует:

Преобразуем полученное уравнение:

т.к. при . Окончательно получим:

Это парабола. При . При .

П олучим теперь выражение для объема жидкости , протекающей через поперечное сечение трубы за одну секунду.

За одну секунду, выделенный слой (см. рис. 1.34) переносит объем жидкости, равный:

где ‑ площадь заштрихованного кольца (см. рис. 1.34). Подставим сюда полученное ранее выражение для скорости:

Проинтегрируем получившееся уравнение:

Окончательно получим:

(1.70)

Это и есть формула Пуазейля (1799 – 1869), которая описывает объемный расход жидкости через круглую трубу, при ламинарном течении.

Методы определения вязкости жидкости

Метод Стокса.

В этом методе шарик падает в исследуемой жидкости.

В установившимся режиме падения шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Следовательно, ускорение шарика будет равно нулю и, согласно второму закону Ньютона, сумма действующих на него сил будет равна нулю. На шарик действуют. Сила Архимеда (см. рис. 1.35) , где ‑ плотность жидкости, ‑ радиус шарика. Сила тяжести , где ‑ плотность материала шарика. Сила вязкого трения, которая для тел сферической формы определяется формулой Стокса , где ‑ скорость шарика в установившемся режиме, ‑ искомый коэффициент вязкости. На основании второго закона Ньютона запишем:

Отсюда получим искомое выражение для коэффициента вязкости:

Капиллярные вискозиметры.

В данном типе вискозиметров измеряют время прохождения известного объема исследуемой и эталонной жидкости через капиллярную трубку (см. рис. 1.36). Согласно формуле Пуазейля, объем жидкости , протекающий за время через трубку радиуса и длиной , определяется выражением:

где ‑ разность гидростатического давления жидкости между метками.

Через капилляр пропускают одинаковые объемы эталонной и исследуемой жидкости. А затем находят отношение объемов:

Гидростатическое давление определяется как:

где ‑ расстояние между метками. С учетом этого, отношение объемов примет вид:

Ротационные вискозиметры.

Имеются два соосных цилиндра. Между ними находится исследуемая жидкость. При одном методе вращают с постоянной скоростью один цилиндр и измеряют угол поворота второго цилиндра. При другом методе изменяют скорость вращения одного цилиндра, чтобы у другого был постоянный угол поворота.

Также вязкость определяют при центрифугировании.

Лекция 6 (2 часа)