Характеристики систем массового обслуживания.

– предельная вероятность того, что СМО свободна (среднее время).

– вероятность того, что в СМО заняты каналов, при этом очередь свободна.

– вероятность того, что узел полностью занят или в очереди находятся заявок. – вероятность того, что система занята полностью.

– среднее занятых устройств. – среднее простаивающих. – коэффициент занятости. – коэффициент простоя. – относительная пропускная способность СМО. – абсолютная пропускная способность.

– среднее число требов., кот. находятся в очереди.

– среднее число требований, которое находится в системе в течение определенного количества времени.

– среднее время, которое заявка находится в очереди.

– среднее время, которое требование находится во всей системе.

2.12-2.13. Сетевые задачи. Некоторые сведения о графах. Постановка задача о кратчайшем расстоянии. Метод пометок для задачи о кратчайшем расстоянии.

Объектом исследования является сеть, которая состоит из узлов и линий связи. Предполагается, что в сети имеется 2 особые узла: исток – вход в сеть, сток – выход из сети. Каждая дуга графа, соединяющая 2 узла и , характеризуется длиной узла (под длиной можно понимать время движения по сети , стоимость и т.д.), где - постоянные переменные.

Постановка: Имеется сеть, которая состоит из 8 городов. Города связаны друг с другом. Известна стоимость проезда по дороге, связывающей -й город с -м, т.е. . В некоторых случаях можно рассматривать вместо стоимости длину или время проезда . На некоторых участках возможны циклы, которые обозначают допустимость возможных проездов в двух направлениях. На этой сети выделим 2 города: исток - №1, из которого начинается движение, и сток - №8, в который нужно добраться. Необходимо выбрать либо самый дешевый маршрут, либо самый кратчайший путь от №1 до №8. При этом в распоряжение исследователя предоставляется граф соединения городов сетью. Указана стоимость проезда.

Сетевой график это орграф без контуров, дугам или вершинам которого поставлены какие – либо числа.

Типы сетевых графиков:

1) дуги – операции (узлы соответствуют событиям начала и концу операции);

2) узлы – операции (линии определяют порядок выполнения операций).

Метод пометок: Первоначально также конечному узлу приписывается индекс , остальные . Затем ищем такую дугу , для которой справедливо неравенство: и заменяем индекс у узла на величину . Далее продолжаем этот процесс замены аналогично предыдущему случаю до тех пор, пока останется хотя бы одна дуга, позволяющая уменьшить индекс . Все узлы должны быть помечены индексами. Правило выбора кратчайшего пути формулируется следующим образом: при обратном проходе по графу от до выбирается тот их узлов, у которого индекс меньший.

2.14-2.15. Сетевое планирование. Постановка. Примеры. Расчет временных характеристик.

Цели использования сетевых графов: 1.оценка времени свершения задач; 2.поиск критичных участков в тех. процессе, которые определяют время комплекса работ.

При использовании сетевых графиков предполагают, что

1. все работы выполняются параллельно последовательно, т.е. как только выполнены условия для начала работ, работы немедленно начинают выполняться;

2. все характеристики технологического процесса являются детерминированными (постоянными) величинами на время расчета комплекса работ.

Сетевая модель технологического процесса изображается в виде сетевого графика (СГР). Вершинами в СГР являются события, а ребрами – работы. Работы делят на 3 вида:

1. действительная работа – требует для выполнения времени , множества ресурсов (оборудования, исполнителей, материалов, комплектующих изделий и т.д.);

2. ожидание – требует времени t, но не требует затрат ресурсов, т.е. ;

3. фиктивная работа – не требует затрат времени и ресурсов, т.е. .

Событие – это результат выполнения одной или нескольких работ. Оно не имеет продолжительности (начальное, завершающее, промежуточное). Все события нумеруются от 1 до . Путь, начало которого с начальным событием, а конец – с завершающим, называется полным. Отметим, что на СГР нет циклов и петель. Продолжительность пути равна сумме всех времен выполнения события, т.е. . Макс. полный путь называется критическим, т.е. , а остальные - некритические. Очевидно, что у некритических путей имеется резерв времени, который равен . Эти резервы равны сумме резервов, т.е. . Очевидно, что на этом некритическом пути часть события будет иметь нулевой резерв, а часть – какой-то резерв .

Расчет параметров сетевого графика при фиксир. временах выполнения работ. Рассчитываются наиболее ранние сроки свершения работ .

Рассчитываются поздние сроки свершения событий

Рассчитываются резервы времени выполнения событий по формуле .

2.16-2.18. Векторная оптимизация. Эффективные планы. Принципы выбора (усреднение целевых функций. Минимизация расстояний до идеальной точки). Принцип выбора (введение иерархий целевых функций, установление гарантированных уровней).

Будем рассматривать задачу оптимизации

(1)

.

Задача (1) является неопределенной в том смысле, что для нее нельзя ввести понятие решение – О.П. Более того, в отличии от скалярного случая ( ), в этой задаче не всегда можно сравнивать между собой 2 плана (какой из них лучше, какой худше). Например, пусть , . , то по первой целевой функции лучше , а по второй . Для двух целевых функций сравнение провести нельзя. Ситуация усугубляется, когда целевая функция измерима в различных масштабах и даже в различных величинах.

Зафиксируем некоторое и будем решать задачу скалярной оптимальности:

(2)

Будем считать, что задача имеет О.П. и будем обозначать - скалярно-оптимальный план у i-ой целевой функции. Исключим из дальнейшего рассмотрения нереальный случай: .

Опр. Будем говорить, что план доминирует над планом задачи (1), если выполняется неравенство и , т.е. один план доминирует над другим, если он не хуже по всем целевым функциям, и строго лучше хотя бы по одной.

Опр. План будем называть эффективным планом задачи (1), или планом оптимальным по Парето, если он не доминирует никаким другим планам задачи.

Эффективные планы также называются не улучшаемыми.

Ясно, что задача (1) эквивалентна задаче . Ясно, что решение задачи нет смысла искать среди доминируемых планов, т.е. доминируемые планы можно отбрасывать в задаче (1) и векторно-оптимальный план решение задачи (1), в некотором смысле, следует искать только среди эффективных планов.

Поскольку (1) и (3) являются неопределенными, то для определении нужна некоторая дополнительная информация к задаче (1). Определение некоторого набора информации к задаче (1), которые позволят однозначно определить называется принципом выбора.