Предельные вероятности.

Опр. Марковская цепь наз. эргодической, если любое состояние , может быть достигнуто из произвольного состояния за конечное число переключений с некоторой ненулевой вероятностью.

Алгебраическими характеристиками эргодичности выступает то, что матрица переходов P непредставима в блочном виде

г де , , имеют нек. размерность и в сумме размерности дают n.

Для эргодических марковских цепей существуют и являются важными следующие числа и наз. предельными вероятностями. Вектор - вектор предельных вероятностей.

- средняя доля времени нахождения системы в сост. в течение всей работы марковских цепей, , . Предельные вероятности существуют только для эргодических марковских цепей.

2.7-2.8.СМО. Общая схема. Типы СМО (по параметрам). Схема гибели и размножения.

На входе в СМО некоторый поток заявок на обслуживание с интенсивностью , будем считать, что этот поток Пуассоновский. Поток заявок поступает в очередь, в которой находится n мест. Затем из очереди заявки поступают в узел обслуживания, в котором содержится n каналов обслуживания. Обслуженные заявки выходят из СМО и образуют некоторый выходящий поток.

Виды очередей:

первым пришел – первым обслужился;

последним пришел – первым обслужился;

случайный порядок выбора заявок из очереди на обслуживание;

приоритетная (в первую очередь получают заявки с более высоким приоритетом);

система с прерыванием, в этом случае, если в СМО поступила заявка с достаточно большим приоритетом, возможно прерывание некоторой другой заявки и возращение в очередь, с целью удовлетворение заявки с более высоким приоритетом.

Схема гибели и размножения.

Граф состояний СМО:

где –интенс.потока перехода из сост.в , , .

По этому графу можно составлять систему уравнений Колмогорова и определять , ,а также алгебраическую систему для финальных (предельных) вероятностей. Последняя наиболее важна и имеет вид:

Если просуммируем все вероятности, получим . Отсюда . Подставив это значение в систему с вероятностями, найдем все предельные вероятности.

2.9.n-канальная СМО с отказами. Характеристики.

Э то простейшая и важная СМО, описывающая, например, работу АТС (автоматическая телефонная станция). На входе простейший поток с интенсивностью . В узле обслуживания каналов с одинаковой интенсивностью . Граф состояний имеет вид:

– состояние СМО, когда в ней находится заявок.

Тогда .

Обозначим – среднее число заявок на среднее время обслуживания одной заявки.

Получаем: и .

Это формулы Эрланга.

Подсчитаем некоторые характеристики СМО:

– вероятность отказа (заявка покинет СМО не обслуженной);

– относительная пропускная способность, вероятность, что заявка будет обслужена или средняя доля обслуженных заявок;

– абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок обслуженных в единицу времени;

– среднее число занятых каналов;

– среднее число простаивающих каналов.

2.10-2.11.СМО с конечной очередью и конечным числом каналов. Предельные вероятности. Производные характеристики.

Пусть – это состояние СМО, тогда в ней (на обслуживании и очереди) находится заявок. – в системе нет ни одной заявки, т.е. как пример – это начальное состояние системы. Далее , – в системе находится заявок и все сразу обслуживаются, в очереди нет ни одной заявки.

– полностью занята среда обслуживания и очередь. Переход из одного состояния в другое осуществляется с интенсивностью и потоком обслуживания в каждом узле с интенсивностью . Все имеют одинаковый приоритет, а дисциплина нас не интересует. Она имеет вид: – количество мест в очереди, – количество узлов обслуживающего устройства.

т.к. то