Потоки событий. Пуассоновский поток.

Под потоком событий понимается некоторая последовательность однородных событий, следующих один за другим. Главной характеристикой потоков является – интенсивность потока в момент времени , среднее кол-во событий, которое случается на некотором промежутке времени.

Опр. Поток будем называть стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Опр. Поток будем называть регулярным, если событие следует одно за другим в разные промежутки времени.

Опр. Поток называется потоком без последствия, если для двух различных промежутков времени количество событий, прошедших на одном промежутке не зависит от количества событий, прошедших на другом промежутке времени.

Опр. Поток событий называется ординарным, если событие происходит по одиночке.

Опр. Поток называется простейшим или пуассоновским, если он одновременно является стационарным, ординарным и без последствия.

2.4-2.6 Марковские цепи с непрерывным временем. Граф состояний. Система уравнений Колмогорова. Предельные вероятности. Алгебраическая система Колмогорова.

Среди марковских цепей распространены такие цепи, у кот. количество состояний конечно, а переход из одного сост. в другое осуществляется с помощью некоторого потока случайных событий в непрерывный момент времени. Такие цепи удобно представлять в виде графа состояний, вершинами которого служат возможные состояния, переход из некоторого состояния в некоторое другое состояние описывается дугой. И над этой дугой находится числовая характеристика - интенсивность потока, под воздействием которого осуществляется переход между этими состояниями.

Пример.

Есть нек. технич. устр-во, состоящее из 2 узлов. Тогда сист. может наход. в 4 состояниях.

– оба узла исправны; –1ый узел в ремонте, 2ой узел работает; –1ый узел исправен, 2й узел в ремонте; – оба узла в ремонте.

Обозн. через – поток отказов первого узла; – поток отказов второго узла. Можно показать, что , где – время непрерывной работы узла. Обозн. – поток восстановл. 1 узла; – поток восстановл. 2 узла. , где – время ремонта узла.

Работа данного устр-ва может быть описана следующим графом состояний

О бозначим через вероятность, что система в момент времени находится в состоянии

Для нашего примера система уравнений Колмогорова примет следующий вид

( )

(7)

Предположим, что в нач. момент устройство находится в исправленном состоянии. Тогда начальное состояние системы ( ), будет .

Система имеет бесконечное множество решений, а с помощью формулы (7) получаем единственное решение.

Решив (6), (7) найдем , .

Система уравнений Колмогорова составляется графом состояний.

Правило составления системы уравнений Колмогорова следующее:

Количество дифференциальных уравнений равно количеству состояний. Слева в уравнении стоит производная вероятности -го состояния, а справа сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых ведут стрелки в данное, умноженные на соответствующие интенсивности потоков событий, минус суммарная эффективность всех выходящих потоков умноженное на вероятность этого состояния.

Если марковская цепь является эргодической, (из некоторого состояния можно попасть в любое другое), то также существуют (не зависящие от начального состояния). Они характеризуют (на некотором временном отрезке) среднюю долю времени пребывания в нем цепи или системы. При нахождении конкретных значений можно воспользоваться системой уравнений Колмогорова, перейдя в ней к пределу при (с учетом того, что ).

Для нашего примера, переходя к пределу приходим к системе

(8)

Это алгебраическая система из уравнений относительно переменных. Определитель коэффициента равен 0. Поэтому добавим к ней уравнение

(9)

Если положить , , , то решив (8) – (9) получим

Следовательно, 40% – времени устройство полностью исправно;

47% – времени устройство полуисправно;

13% – времени устройство неисправно.