1.1-1.2. Задача о назначениях. Постановка. Эквивалентные преобразования. Идея метода. Венгерский метод. Блок-схема.
Постановка задачи.
Имеется n
работ и столько же исполнителей. Известно
–
эффективность, с которой i-ый
исполнитель может выполнить j-ю
работу,
,
.
Требуется расставить исполнителей по
работам, т.о. чтобы каждому исполнителю
получилась одна работа и суммарная
исполнительность была высокая.
Математическая модель.
Введем переменную
,
тогда целевая функция (суммарная эффективность) будет
, (1)
ограничения по расстановке:
,
(i-му
исполнителю поручается одна работа)
(2)
,
(j-я
работа поручается одному исполнителю)
(3)
Т.о., любая задача
о назначениях характеризуется матрицей
назначения,
,
.
Эквивалентное преобразование.
Некоторые преобразования задачи оптимизации к другой, в результате которого О.П. не меняется, называются эквивалентными преобразованиями.
Теорема. Прибавление константы к элементам некоторой строки матрицы С, либо столбца оптимальный план не меняется.
Доказательство. Каждая задача характеризуется матрицей назначения С.
.
Совершим преобразования:
,
т.е. к i-ой
строке di,
а j-ого
столбцу lj.
Т.о., если к целевой функции прибавить константу, то О.П. не изменится.
Идея метода (Венгерский метод).
Определение. Пусть дана матрица С, . Некоторый набор нулевых элементов матрицы будем называть системой независимых нулей, если никакие два из них не стоят в одной строке или одном столбце. Система независимых нулей называется полной, если количество нулей равно n.
В венгерском методе
совершаются эквивалентные преобразования
с матрицей С.
Причем при
каждом преобразовании элементы
.
На первом этапе
исходная задача превращается в
эквивалентную ей задачу оптимизации
(умнож. на (-1), с прибавлением к строкам
и столбцам константы). А затем строится
исходная СНН и с помощью нескольких
итераций она превращается в полную.
Ясно, что на каждом этапе эквивалентного
преобразования
,
потому что
,
.
После построения
полной СНН мы для последней задачи можем
построить О.П.
в виде
матрицы, у которой на месте полной СНН
стоят 1, остальные элементы нулевые.
Ясно, что
,
т.е. на этом плане достигается нижняя
граница.
Нули, входящие в
систему СНН помечаем
.
Определение. Элементы матрицы С, заданные на некотором этапе, которые стоят или в строке, или в столбце, выделяются знаком “+” будем называть выделенными элементами, а остальные будем называть невыделенными.
Б
лок-схема.
k=k+1
1.3-1.4. Задача о коммивояжере. Постановка. Примеры. Дерево вариантов. Вычисление нижней границы. Схема метода.
Постановка
задачи. Пусть
имеется n
городов. Между ними известно расстояние
,
,
Бродячий торговец, выезжая из некоторого города, должен объехать другие города, побывав в них только один раз и вернуться обратно. Требуется найти такой круговой маршрут, чтобы длина (суммарная стоимость) маршрута была минимальной.
Математическая модель.
,
;
Целевая функция 
Ограничения:
- означает, что из i-ого города торговец выезжает 1 раз.
- означает, что торговец из j-ого города выезжает 1 раз.
Пример:
1
4
5
2
3
Метод ветвей и границ для задачи.
Пусть для простоты n = 5. Поскольку маршрут циклический, то все равно из какого города выходить и куда возвращаться. Поэтому старт берем город № 1. Строим дерево вариантов – вершиной будет город № 1.
Перебираем планы задачи.
Каждому плану задачи соответствует ветвь дерева, которая начинается в 1 и кончается на 5-ом уровне. Количество планов конечно и равно (n-1)!.
Все множество планов X можно разбить на первом уровне для нашего случая на 4 подмножества: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5). Любое подмножество планов по некоторому узлу можно разбить на более мелкие подмножества на лежащие под ним уровни.