4. Математическое программирование

Термин

Описание

ПЕРЕМЕННЫЕ задачи

Переменные, выбором значений которых обеспечивается принятие решения. Они являются неизвестными значений параметров модели математического программирования. Переменным обозначаются x₁, x₂, x₃ … x_n, где n – количество искомых переменных. В зависимости от содержания задачи может использоваться и большее количество индексов, например x_ij или z(i,j). Решение состоит в определении численных значений всех переменных задачи.

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

Функция, задающая некоторый количественный критерий, например, стоимость, прибыль, полезность или доход. Линейная целевая функция может быть представлена в следующем виде: ,

где c_i – коэффициент значимости i-ой искомой переменной.

Функция становится целевой, когда указывается, что требуется сделать с заданным критерием: максимизировать или минимизировать:

ОГРАНИЧЕНИЕ

Представляется неравенством или равенством, отражающим требования к решению в поставленной задаче. Ограничения следуют из различных причин, например, ограниченные ресурсы или физические законы. В общем виде в задаче ЛП, есть m линейных ограничений вида:

, для i = 1… m.

Для каждого ограничения имеет место одно из трех отношений, показанных в фигурных скобках. Числа a_ij называются коэффициентами левой части, а число b_i называется «правой частью» i-ого ограничения.

Строгие неравенства в задачах математического программирования не допускаются.

ПРОСТОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ СВЕРХУ

Ограничение для переменной,x_j определенное числом u_j, которое ограничивает ее значение:

, для j = 1 … n.

Если не имеется простого ограничения сверху для переменной, говорят, что переменная неограниченна сверху.

НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕМЕННЫХ

Отражает то, что переменные обязаны быть неотрицательными:

, для j = 1 … n.

ПОЛНАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задача имеющая вид:

при условии

, для i = 1… m

, для j = 1 … n

ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ

Представляют собой совокупность коэффициентов (c_j, a_ij, b_i, u_j) для всех значений индексов i и j. Для того, чтобы модель была полностью определена, все значения параметров должны быть заданы.

допустимые решения

(АЛЬТЕРНАТИВЫ)

Ограничения, включая неотрицательность и простое ограничение сверху, определяют область значений переменных x_i, i=1,…,n, называемую областью допустимых решений (ОДР), в которой отыскивается оптимальное решение

ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

Любое допустимое решение, которое доставляет максимум (минимум) целевой функции по всей области допустимых решений называется оптимальным. Оптимальное решение может быть единственным или множественным, но может и вовсе не существовать в зависимости от сочетания ограничений задачи ЛП.