9.4. Имитационная модель «хищники-жертвы» в системе ms Excel

Для моделирования с помощью электронных таблиц требуется дискретная модель рассматриваемого процесса взаимодействия популяций.

Если отказаться от предположения непрерывности изменения количеств x(t) и y(t) и перейти к дискретному времени t_k+1= t_k+t, где t – шаг дискретизации времени, то вместо системы уравнений Лотки-Вольтерра (9.2) получим систему рекуррентных уравнений:

x_k+1= x_k+ x_k -  x_k y_k ,

y_k+1= y_k -  x_k +  x_k y_k , (9.3)

x₀=X , y₀=Y.

Обратим внимание, что для рекуррентных уравнений необходимо задание начальных значений переменных в момент t=0.

Таким образом, увеличение численности травоядных в единицу времени (изменение численности от x_k до x_k+1 за единицу времени) происходит за счет рождения новых особей (скорость размножения на количество особей), а уменьшение - за счет гибели при встрече с хищниками (эта величина пропорциональна численности травоядных, численности хищников и вероятности того, что жертва при этой встрече погибнет =0,001).

Увеличение популяции хищника (изменение численности от y_k до y_k+1 за единицу времени) определяется коэффициентом хищничества  (величина, указывающая на "прирост", получаемый популяцией хищников за счет поедания одной жертвы) и пропорционален количествам жертв и хищников.

Имитационная модель в MS Excel отражает дискретные состояния системы, которые описываются количеством хищников (столбец C) и количеством жертв (столбец В) в k-й период (строка с соответствующим номером в столбце А).

Исходные значения переменных задаются в ячейках B2 и C2.

В ячейках В3 и С3 задаем формулы, позволяющие вычислить количества особей на следующий период:

В3 =ЦЕЛОЕ(B2+$F$2*B2-$F$3*B2*C2),

С3 =ЦЕЛОЕ(C2+$F$5*C2*B2-$F$4*C2).

В этих формулах используются коэффициенты, заданные в следующих ячейках:  в ячейке F2,  в F3,  в F4,  в F5.

Для того, чтобы можно было динамически наблюдать изменения поведения модели при изменении параметров системы, используются средства управления значениями данных ячеек, называемые «Полоса прокрутки». Данное средство извлекается из набора элементов управления формы, который открывается во вкладке «Разработчик» ленты управления MS Excel 2007. (Для включения этой вкладки в состав ленты управления требуется нажать кнопку «Оффис», открыть окно «Парметры Excel» и установить флажок для опции «Показывать вкладку «Разработчик» в ленте»). Открыв вкладку «Разработчик», нажать закладку «Вставить», и в открывшемся окне «Элементы управления формы» выбрать элемент «Полоса прокрутки», щелкнув его левой клавишей «мыши». После этого элемент вставляется в требуемое место таблицы, указываемое курсором, принявшем вид ‘+’, щелчком левой клавиши. Настройка элемента управления формы производится в диалоговом окне, которое открывается при щелчке правой клавиши на выделенном элементе и выборе «Формата объекта» (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Настройка элемента управления

Текущее, минимальное и максимальное значения параметра, а также шаг изменения при единичном нажатии на стрелку, и «шаг изменения» при щелчке по полосе прокрутки («Шаг изменения по страницам») задаются в соответствующих полях. Все заданные таким образом параметры будут относиться к значению, находящемуся в ячейке указанной в поле «Связь с ячейкой». После щелчка кнопки «ОК», значением в указанной ячейке можно управлять с помощью движка полосы прокрутки. Однако для точности управления приходится воспользоваться масштабированием задаваемой величины. Масштабы, которые позволяют получать значения коэффициентов , , ,  в ячейках F2, F3, F4, F5, соответственно, представляют собой делители чисел задаваемых «регуляторами»:

F2 =H2/I2, F3=H3/I3, F4=H4/I4, F5=H5/I5.

После задания всех представленных формул остается только выделить диапазон А3:С3 и «растянуть» его до строки 252. В результате получим модель представленную на рис. 9.5.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	Цикл	Кол-во кроликов (x)	Кол-во рысей (y)		Параметры системы			Регуля-торы	Масштаб
2	0	500	50		alfa	0,1		1 0	100
3	1	527,0	53,0		beta	0,0009		9	10000
4	2	554,0	57,0		gamma	0,028		2 8	1000
5	3	580,0	61,0		delta	0,0002		2	10000
6	4	606,0	66,0
7	5	630,0	72,0		Коэффициент рождаемости жертв (alfa)
8	6	652,0	79,0		Эффективность охоты хищников на добычу (beta)
9	7	670,0	87,0		Коэффициент смертности хищников (gamma)
10	8	684,0	96,0		Коэффициент рождаемости хищников (delta)
11	9	693,0	106,0
12	10	696,0	117,0		xk+1= xk+a xk - b xk yk
13	11	692,0	130,0		yk+1= yk - g xk + d xk yk
14	12	680,0	144,0		x0=X , y0=Y
15	13	659,0	159,0
16	14	630,0	175,0
17	15	593,0	192,0
18	16	549,0	209,0
19	17	500,0	226,0
20	18	448,0	242,0
21	19	395,0	256,0
22	20	343,0	269,0
23	21	294,0	279,0
24	22	249,0	287,0
25	23	209,0	293,0
26	24	174,0	297,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
173	171	46,0	554,0
174	172	27,0	540,0
175	173	16,0	525,0
176	174	10,0	510,0
177	175	6,0	495,0
178	176	3,0	480,0
179	177	2,0	466,0
180	178	1,0	452,0
181	179	0,0	438,0
182	180	0,0	425,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
250	248	0,0	43,0
251	249	0,0	41,0
252	250	0,0	39,0
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Рис. 9.5. Дискретная модель «хищники - жертвы»

Модель отражает поведение системы в течение 250 циклов. Графически результаты моделирования представляются с помощью «точечной» диаграммы, построенной по диапазону А1:С252.

Полученное решение показывает, что при заданных параметрах популяция жертв (кроликов) вымирает на 180 цикле, после чего неминуемо погибает от голода и популяция хищников (рысей) (приблизительно к 300 циклу).

Рис. 9.6. Графический вид результатов дискретного моделирования

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений отражает картину неадекватно, что становится видным из сравнения результатов дискретного (рис. 9.6) и непрерывного моделирования (рис. 9.7). Непрерывная модель отличается от дискретной лишь формулами для изменяющихся численностей популяций:

В3 = B2+$F$2*B2-$F$3*B2*C2,

С3==C2+$F$5*C2*B2-$F$4*C2.

За счет того, что численность в промежуточные моменты может иметь дробные значения, изменяется и поведение системы. Хотя характер его остается тем же, то есть колебательным, но результат может существенно отличаться. Непрерывная модель, как видно из графика на рис. 9.7, показывает, что популяция кроликов выживает, а, следовательно, выживают и рыси, численность которых снизившись до 28 к 270 циклу вновь начинает возрастать, и к 280 циклу становится равной 33.

Рис. 9.7. Графический вид результатов непрерывного моделирования

Таким образом, выявляется важное различие дискретной и непрерывной моделей. При этом важно отметить, что в данном случае аппроксимацией следует считать не дискретную модель для непрерывной, как это обычно бывает, а непрерывная модель является аппроксимацией для дискретной.

Описание поведения дискретной системы с помощью дискретной модели оказывается более адекватным, хотя результаты её прогноза весьма печальны как для жертв, так и для хищников.