9.2.Основные принципы системной динамики

Существуют четыре основных принципа системной динамики [13]:

Первый принцип: динамику поведения сколь угодно сложной динамической системы можно свести к изменению значений некоторых «уровней», а сами изменения регулировать «потоками», наполняющими или исчерпывающими уровни.

Второй принцип: все изменения в любой системе обуславливаются «петлями обратной связи», представляющими собой замкнутые цепи взаимодействий, которые связывают входное воздействие с выходным фактором системы, и обуславливают влияние этого выходного фактора на уровень входного воздействия.

Третий принцип: петли обратной связи в любой системе создают нелинейные зависимости между входными и выходными факторами, что приводит к непропорциональному и труднообъяснимому влиянию информации об уровнях системы на её состояние через обратные связи.

Четвертый принцип: системная динамика представляет собой прикладной аппарат, который наиболее адекватно отражает нестандартное поведение сети взаимодействующих потоков и обратных связей. Этот аппарат целесообразно применять тогда, когда традиционные подходы оказываются неэффективными, то есть когда поведение объектов не поддается точному математическому описанию и математические модели дают очень приблизительные оценки.

При создании системно динамической моделей, отвечающих указанным принципам, выделяют этапы создания концептуальной модели (структурное моделирование), создание компьютерной модели, имитационное моделирование с помощью компьютерных программ, эмулирующих функционирование модели.

Для построения системно-динамических моделей используются специализированные компьютерные системы, предназначенные для визуального моделирования. В таких системах для создания компьютерной программы, эмулирующей системно-динамическую модель, не требуется умения разрабатывать программы на том или ином языке программирования. Элементы модели извлекаются из некоторой библиотеки готовых модулей, каждый из которых представлен визуально в виде графического объекта (иконки), которая переносится на поле создания модели и соединяется с другими элементами. Тем самым элемент включается в модель, а при этом в компьютерную программу создаваемую системой моделирования включается соответствующий модуль. Включение элементов в модель и визуальная настройка элементов модели обеспечиваются интерактивным интерфейсом системы моделирования, как правило построенном подобно оконному интерфейсу. Интерактивность состоит в том, что для каждого элемента модели система моделирования запрашивает только необходимые для него параметры (например, вид уравнения для конвертера, коэффициенты линейной зависимости, тип вероятностного распределения). Ниже для создания системно-динамической модели будут использованы как универсальная вычислительная среда (MS Excel), так и система визуального имитационного моделирования STELLA специализированная для создания системно-динамических моделей.

9.3. Модель «хищники-жертвы» как пример моделирования обратных связей

Экономические модели строятся для объяснения явлений в реальных экономических системах, то есть для исследования их поведения в изменяющихся условиях. При этом незначительные изменения параметров модели могут приводить к значительным изменениям результатов моделирования, то есть приводят к другой модели, имеющей иные свойства. В этом случае наблюдается структурная неустойчивость модели, присущая и самой реальной системе. Ярким примером такой системы и её модели является экологическая модель «хищники-жертвы», которую многие исследователи рассматривают в приложении к экономическим системам [4]. Так в литературе по динамике городского хозяйства, рассматриваемого как единая система, модель используется для описания малых городских ареалов. При этом переменная x – означает плотность землепользования, у – земельную ренту, a,b,x₁,y₁ – некоторые параметры городской системы. Таким образом, система описывает динамику спроса – предложения земельной ренты с учетом будущих процентов при частично совпадающих ожиданиях землепользователей и владельцев земли:

(9.1)

Другой известной экономической моделью, аналогичной модели «хищники-жертвы», является модель описания классового расслоения общества, которое может быть описано с помощью модели «хищники-жертвы», отражающей классовую борьбу [4]. Таким образом, модель «хищники-жертвы» представляет особый интерес как одна из универсальных моделей линамической системы с обратными связями.

Рассматриваемая реальная система является динамической, но остается детерминированной, так как коэффициенты рождаемости и смертности хищников и жертв считаются заданными. Конечно, понятно, что эти величины определены статистически и являются лишь приближенными значениями некоторых недетерминированных величин. Однако на данном уровне моделирования достаточно ограничится такими оценками для получения представления о поведении системы в целом при различных соотношениях указанных параметров. Математическая модель динамического взаимодействия популяци разработана американским математиком А.Лоткой (A.J. Lotka) в 1925 г. и независимо от него итальянским математиком В. Вольтерра (V. Volterra) в 1926 г., представляет собой систему дифференциальных уравнений, получившую название уравнений Лотки-Вольтерра.

Постановка задачи

Рассматривается закрытая область расселения двух видов животных – травоядных и хищников. Ввиду замкнутости области животные не покидают данной области и не прибывают извне. Предполагается , что растительности для травоядных животных достаточно и она возобновляется быстрее, чем поедается. Заданы коэффициент рождаемости травоядных .

Обозначим через x количество травоядных (жертв). Для упрощения задачи предполагается, что количество жертв изменяется непрерывно. То же предположение распространяется и на количество хищников, хотя в реальной системе эти величины являются дискретными. Однако предположение основано на надежде на то, что результат решения от этого качественно не изменится. Тогда, скорость прироста популяции травоядных может быть выражена величиной , а уравнение изменения количества травоядных в отсутствие причин для вымирания примет вид: , что отражает пропорциональность скорости роста численности количеству травоядных x с указанным выше коэффициентом  .

Так как хищники питаются только травоядными, то они уменьшают численность последних, в результате чего возникает недостаток питания и это служит причиной вымирания хищников. Тогда количество хищников, обозначаемое y, будет убывать пропорционально их численности с коэффициентом , задающим уровень смертности хищников.

Рассматриваемая система является типичной для системной динамики, но прежде, чем перейти построению системно-динамической модели рассмотрим подход к этой задаче, ориентированный на построение модели с помощью электронной таблицы. При этом также выявим два уровня X и Y, задающих количество жертв и хищников, соответственно. Потоки, пополняющие и исчерпывающие указанные уровни, представляют увеличение популяций за счет рождения и уменьшение за счет вымирания.

Концептуальная модель системы представлена на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Диаграмма влияния уровней системы «хищники-жертвы»

Забегая вперед, покажем вид системно-динамической модели, построенной по подобной диаграмме влияния, будет выглядеть следующим образом (рис. 9.3.):

Рис. 9.3. Системно-динамическая модель, построенная в среде STELLA

Математическая модель, построенная с помощью дифференциальных уравнений описывает уравнение для скорости изменения величины y в виде .

Взаимодействия хищников и жертв, количество которых пропорционально произведению xy, приводят к гибели травоядных, но не во всех случаях, а лишь в их части, с коэффициентом  и к обеспечению рождаемости хищников с коэффициентом . С учётом этого, скорость прироста численности травоядных уменьшается на величину xy , а скорость вымирания хищников уменьшается на величину xy. В результате получается система уравнений:

, (9.2)

вид которой не отличается от системы (9.1).

Представленная математическая модель изучена в теории дифференциальных уравнений, и позволяет найти аналитические выражения для функций x(t) и у(t). Однако, помня о предположении непрерывности этих функций, которое не соответствует дискретности реальной системы, требуется проверить полученное решение для дискретного изменения количеств хищников и жертв. Это можно выполнить с помощью систем имитационного моделирования, причем в качестве таковой могут служить и универсальные электронные таблицы (например, MS Excel), как это было показано в предыдущих главах. Кроме того, с помощью имитационного моделирования можно экспериментировать с различным параметрами системы “Хищники-жертвы” и визуально отображать изменения количества хищников и травоядных с течением времени.

Рассмотрим конкретную систему “хищники-жертвы”, имеющую следующие параметры:

– начальное количество хищников (y) – 40 особей;

– начальное количество добычи (x)– 600 особей;

– коэффициент рождаемости хищников () – 0,2;

– коэффициент смертности хищников ()– 0,008;

– коэффициент рождаемости жертв ()– 0,04;

– эффективность охоты хищников (вероятность того, что при встрече с хищником жертва погибнет) ()– 0,0002.