5.2. Задача о выборе университета

Рассмотрим следующую ситуацию, в которой требуется принять решение на основе некоторой иерархии предпочтений. Родителям семейства, в котором есть одногодки сын и дочь – выпускники школы со 100 % результатами ЕГЭ. Необходимо выбирать один из трех университетов A, B и С. Родители хотят, чтобы дети учились в одном учебном заведении. Университеты оцениваются по двум критериям: местоположение и репутация. Оценка университетов доверена самим поступающим. У родителей имеются свои предпочтения по отношению к мнениям сына и дочери. От родителей требуется принять окончательное решение о выборе университета, учитывая приоритеты мнений сына и дочери, и их предпочтения по местоположению и репутации университетов.

Приоритеты мнений сына и дочери, а также их собственные приоритеты для критериев местоположения и репутации представлены в таблице 5.2.

Таблица 5.2.

	Сын	Дочь
Сын	1	2
Дочь	1/2	1

Из представленной матрицы видно, что мнение сына имеет вдвое больший вес, чем мнение дочери.

Обозначим критерий местоположения - L, а критерий репутации – R.

Предпочтения сына и дочери по отношению к критериям L и R представлены в матрицах парных сравнений, заданных в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

Сын	R	L		Дочь	R	L
R	1	2		R	1	1/3
L	1/2	1		L	3	1

Из представленных матриц видно, что для сына критерий R в 2 раза важнее, чем критерий L, а для дочери критерий L в 3 раза важнее, чем критерий R.

Кроме того и сын и дочь высказывают свои суждения о предпочтении того или другого университета по каждому критерию. Предпочтения сына для университетов A, B и C задаются матрицами в таблицах 5.4 (критерий R) и таблице 5.5 (критерий L).

Таблица 5.4.

R (сын)	A	B	C
A	1	1	2
B	1	1	5
C	1/2	1/5	1

Таблица 5.5.

L (сын)	A	B	C
A	1	½	3
B	2	1	½
C	1/3	2	1

Предпочтения дочери для университетов A, B и C задаются матрицами в таблицах 5.6 (критерий R) и таблице 5.7 (критерий L).

Таблица 5.6.

R (дочь)	A	B	C
A	1	2	3
B	1	1	2
C	1/3	1/2	1

Таблица 5.7.

L (дочь)	A	B	C
A	1	3	2
B	1/3	1	1/5
C	1/2	5	1

По заданным матрицам парных сравнений определяются приоритеты (веса) альтернатив для каждого производимого выбора на всех уровнях иерархии.

Приоритеты мнений детей, установленные родителями :

мнение сына - p , мнение дочери – q, причем p+q=1.

Приоритеты критериев R и L, установленные сыном:

критерий R – p₁ , критерий L – p₂, причем p₁+p₂=1.

Приоритеты критериев R и L, установленные дочерью:

критерий R – q₁ , критерий L – q₂, причем q₁+q₂=1.

Приоритеты университетов A, B и С по критерию R, установленные сыном: A – p₁₁ , B – p₁₂, C – p₁₃, причем p₁₁+p₁₂+p₁₃=1.

Приоритеты университетов A, B и С по критерию L, установленные сыном: A – p₂₁ , B – p₂₂, C – p₂₃, причем p₂₁+p₂₂+p₂₃=1.

Приоритеты университетов A, B и С по критерию R, установленные дочерью: A – q₁₁ , B – q₁₂, C – q₁₃, причем q₁₁+q₁₂+q₁₃=1.

Приоритеты университетов A, B и С по критерию L, установленные дочерью: A – q₂₁ , B – q₂₂, C – q₂₃, причем q₂₁+q₂₂+q₂₃=1.

Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней со своими критериями

На рис. 5.1. представлено дерево иерархии выбора.

Рис. 5.1. Дерево иерархии выбора

После построения дерева иерархии остается только рассчитать весовые коэффициенты каждой из альтернатив, то есть для каждого из университетов A, B и C. Сначала для каждого университета вычисляются весовые коэффициенты определяемые сыном и дочерью A_С, B_С, C_С и A_Д, B_Д, C_Д, соответственно. Весовые коэффициенты для окончательного выбора родителей A_Р, B_Р, C_Р вычисляются по формулам:

(5.1)

Сложность метода анализа иерархий заключается в определении относительных весовых коэффициентов для оценки альтернатив. Если имеется n критериев на заданном уровне иерархии, соответствующая процедура создает матрицу А размерности (nn), именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i = 1, 2, ..., n) оценивается относительно каждого из критериев, представленных n столбцами. В нашей задаче матрицы парных сравнений заданы таблицами 5.2-5.7.

Элемент матрицы А, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца обозначается через а_ij. Как указано выше в МАИ для оценок альтернатив используются значения фундаментальной шкалы, задаваемые числами от 1 до 9 (табл. 5.1.)

Соответствие относительных оценок двух альтернатив обеспечивается условием: если а_ij = k, то a_ji = 1/k. Таким образом, все диагональные элементы а_ii=1. Действительно, они отражают сравнение оценки альтернативы с самой собой. Таким образом, матрица парных сравнений является антисимметричной матрицей.

Алгоритм получения весовых коэффициентов с помощью матрицы парных сравнений.

1. Построить матрицу парных сравнений .

2. Получить нормализованную матрицу :

2.1. Вычислить суммы элементов по столбцам i=1…n;

2.2. Элементы i-го столбца разделить на соответствующую сумму

.

3. Получить весовые коэффициенты

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	Метод анализа иерархий
2
3	Предпочтения родителей
4		Сын	Дочь
5	Сын	1	2
6	Дочь	0,5	1
7	Сумма	1,5	3
8
9	Нормированная матрица родителей
10		Сын	Дочь	wi
11	Сын	0,667	0,667	0,667	p
12	Дочь	0,333	0,333	0,333	q
13
14
15
16	Сын	R	L			Дочь	R	L
17	R	1	2			R	1	0,333
18	L	0,5	1			L	3	1
19	Сумма	1,5	3			Сумма	4	1,333
20
21	Нормированная матрица					Нормированная матрица
22	Сын	R	L	wi		Дочь	R	L	wi
23	R	0,667	0,667	0,667	p1	R	0,250	0,250	0,250	q1
24	L	0,333	0,333	0,333	p2	L	0,750	0,750	0,750	q2

Рис. 5.2. Расчет весовых коэффициентов

Таблицы, в которых заданы матрицы парных сравнений, перенесены в электронную таблицу. В матрицах выделены ячейки, в которые заносятся данные. Симметричные им ячейки вычисляются как элементы антисимметричных матриц: B6=1/C5; B18=1/C17; G18=1/H17. Обратим внимание, что для внесения дробного значения, например, 1/3 следует задать формулу = 1/3.

B7=СУММ(B5:B6), C7=СУММ(C5:C6).

Формулы для B19, C19, G19, H19 аналогичны.

Ячейки «нормированной матрицы родителей» вычисляются по формулам:

B11=B5/B7, B12=B6/B7, C11=C5/C7, C12=C6/C7

Аналогично вычисляются нормированные матрицы сына и дочери для альтернативных критериев.

Наконец, весовые коэффициенты p и q вычисляются с помощью формул:

D11=СРЗНАЧ(B11:C11),

D12=СРЗНАЧ(B12:C12).

Весовые коэффициенты p₁, p₂ и q₁, q₂ вычисляются по аналогичным формулам.

Отметим. что во всех трех случаях нормированные матрицы имели одинаковые столбцы, и вычисление весовых коэффициентов как средних значений по строке носило формальный характер. Однако, это происходит лишь потому, что матрица размера 22 всегда обладает таким свойством. Равенство столбцов нормированной матрицы является признаком согласованности матрицы парных сравнений, которая отражает согласованность нескольких суждений эксперта между собой. Но матрица размера 22 отражает лишь одно суждение (парное сравнение), следовательно она всегда будет согласованной.

Для расчёта весовых коэффициентов альтернатив (университетов) с точки зрения сына необходимо построить матрицу 3×3 для каждого критерия L и R.

Как видно из результатов нормирования, показанных на рис. 5.3, нормированные матрицы по обоим критериям имеют различающиеся столбцы и, следовательно, не являются согласованными. Для принятия решения на основе такой матрицы необходимо проверить степень согласованности матрицы.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
26
27	R (сын)	A	B	C
28	A	1,000	1,000	2,000
28	B	1,000	1,000	5,000
30	C	0,500	0,200	1,000
31	Сумма	2,500	2,200	8,000
32
33	Нормированная матрица
34	R (сын)	A	B	C	WI		A x W
35	A	0,4	0,455	0,25	0,368	p11	1,139		CI	0,057
36	B	0,4	0,455	0,625	0,493	p12	1,555		RI	0,66
37	C	0,2	0,091	0,125	0,139	p13	0,421		CR	0,087
38						Sv	3,115			ДА
39	L (сын)	A	B	C
40	A	1	0,5	3
41	B	2,000	1	0,5
42	C	0,333	2,000	1
43	Сумма	3,333	3,500	4,500
44
45	Нормированная матрица
46	L (сын)	A	B	C	WI		A x W
47	A	0,3	0,143	0,667	0,370	p21	1,429		CI	0,368
48	B	0,6	0,286	0,111	0,332	p22	1,221		RI	0,66
49	C	0,1	0,571	0,222	0,298	p23	1,086		CR	0,557
50						Sv	3,736			НЕТ

Рис. 5.3. Расчет весовых коэффициентов по предпочтениям сына и проверка согласованности его суждений.

Алгоритм проверки согласованности матрицы парных сравнений

1. Вычислить произведение исходной матрицы парных сравнений А на полученный вектор-столбец весовых коэффициентов w: .

2. Вычислить сумму элементов полученного столбца

3. Вычислить коэффициент несогласованности: .

4. Вычислить стохастический коэффициент несогласованности матрицы: .

5. Вычислить относительный коэффициент несогласованности: _.

6. Если C_R < 0,1, то матрица парных сравнений достаточно согласованна для принятия решения на её основании, иначе необходимо уточнить матрицу.

Первый шаг алгоритма выполняется вычислением произведения матрицы А на вектор w в диапазоне E35:E37. Для вычисления матричного произведения используется функция МУМНОЖ(). Формула в ячейке G35=МУМНОЖ(B28:D30;E35:E37) использует массивовый тип данных. Поэтому после внесения формулы в ячейку, требуется выделить мышью диапазон, в котором будет находиться результат массивового типа, то есть задать диапазон, для матрицы-произведения. В нашем случае матрица размерности (3×3) умножается на матрицу-столбец размерности (3×1), значит результатом будет матрица размерности (3×1) = (3×3)×(3×1). Таким образом, записав формулу в ячейку G35, следует выделить диапазон G35:G37, нажать клавишу F2 (то есть перейти в режим редактирования ячейки), а затем нажать комбинацию из трех клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате в диапазоне G35:G37 получен вектор-произведение .

Сумма Sv вычисляется в ячейке G38 формулой СУММ(G35:G37).

Коэффициент несогласованности C_I вычисляется в ячейке J35 =(G38-3)/(3-1),

cтохастический коэффициент несогласованности R_I вычисляется в ячейке

J36 =1,98*(3-2)/3, относительный коэффициент несогласованности С_R вычисляется в ячейке J37 =J35/J36.

Проверка условия C_R < 0,1 выполняется в ячейке G38 формулой =ЕСЛИ(J37<0,1;"ДА";"НЕТ"). Значение «Да» указывает на то, что исходная матрица парных сравнений А, является достаточно согласованной, и полученный вектор весовых коэффициентов можно использовать для принятия решения. Значение «Нет» указывает на то, что суждения отражаемые матрицей противоречивы и требуют уточнения. Уточнение может состоять в повторном задании вопросов о предпочтениях, до тех пор пока не будет получена достаточно согласованная матрица. Общей рекомендацией для снижения коэффициента несогласованности C_I может служить снижение «контрастности суждений», то есть снижение степени предпочтения одной альтернативы по отношению к другой. Значения, выбираемые из фундаментальной шкалы (табл.5.1), можно уменьшать, снижая тем самым степень предпочтения, но оставляя при этом само предпочтение одной альтернативы.

Этот прием требуется применить для матрицы парных сравнений университетов А, В, С по критерию L (местоположение), которая отражает суждения сына (диапазон B40:D42). Действительно, вычисления относительного коэффициента рассогласования C_I для этой матрицы, выполненные по формулам аналогичным для матрицы критерия R, дают результат «НЕТ» в ячейке J50.

Приемлемое значение для C_I достигается последовательным уменьшением самой контрастной оценки. Причем, как видно из решения, представленного на рис.5.4. в качестве численного выражения предпочтения взяты дробные числа, выражающие некоторые промежуточные степени предпочтения по отношению к базовым значениям фундаментальной шкалы.

Важно отметить, что описанный прием освобождает от необходимости пересматривать оценочные суждения сына, а лишь снижает их «категоричность». Например, университет А стал не «в 3 раза лучше расположен, чем университет С», а всего «в 1,5 раза лучше расположен, чем университет С», но при этом заметно лучше.

Обратим внимание на то, что при снижении контрастности предпочтений снижается и контрастность вектора весовых коэффициентов, который из w= (0.370, 0.332, 0.298) превращается в w= (0.342, 0.333, 0.325). При этом порядок весовых коэффициентов сохраняется¹.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
39	L (сын)	A	B	C
40	A	1,000	0,720	1,500
41	B	1,389	1,000	0,720
42	C	0,667	1,389	1,000
43	Сумма	3,056	3,109	3,220
44
45	Нормированная матрица
46	L (сын)	A	B	C	wi		A x W
47	A	0,327	0,232	0,466	0,342	p21	1,069		CI	0,063
48	B	0,455	0,322	0,224	0,333	p22	1,042		RI	0,660
49	C	0,218	0,447	0,311	0,325	p23	1,016		CR	0,096
50						Sv	3,127			ДА

Рис. 5.4. Уточнение матрицы парных сравнений для достижения достаточной согласованности

Используя данные о предпочтениях дочери, аналогичным образом вычисляются весовые коэффициенты университетов по критериям R и L, а также проверяется достаточность согласованности матриц парных сравнений. (Рис. 5.5)

Таким образом, получены значения весовых коэффициентов для всех уровней дерева иерархий:

приоритеты мнений детей, установленные родителями :

p = 0.667 , q = 0.333;

приоритеты критериев R и L, установленные сыном:

p₁ = 0.667, p₂ = 0.333;

приоритеты критериев R и L, установленные дочерью:

q₁ = 0.25, q₂= 0.75;

приоритеты университетов A, B и С по критерию R, установленные сыном: p₁₁ = 0.368, p₁₂=0.493, p₁₃=0.139;

приоритеты университетов A, B и С по критерию L, установленные сыном: p₂₁ = 0.342, p₂₂= 0.333, p₂₃= 0.325;

приоритеты университетов A, B и С по критерию R, установленные дочерью:

q₁₁ = 0.539, q₁₂= 0.297, q₁₃ = 0.164;

приоритеты университетов A, B и С по критерию L, установленные дочерью: q₂₁ = 0.519, q₂₂ = 0.125, q₂₃ = 0.356.

Остается подставить полученные значения в формулы (5.1). В электронной модели выбор реализуется фрагментом таблицы представленным на рис. 5.6.

В ячейки O5 и W5 передаются значения весовых коэффициентов p и q, вычисленные в ячейка D11 и D12, соответственно, то есть

O5= D11, W5= D12.

Остальные весовые коэффициенты передаются в дерево решений аналогично (рис. 5.6):

M7 =D23, Q8 =D24, U8 =I23, Y8 =I24,

L9 =E35, M9 =E36, N9 =E37,

P9 =E47, Q9 =E48, R9 =E49,

T9 =E60, U9 =E61, V9 =E62,

X9 =E72, Y9 =E73, Z9 =E74.

Вычисление весовых коэффициентов установленных сыном для университетов по двум критериям А_С, В_С и С_С вычисляются в ячейках M11, O11 и Q11 по формулам:

M11 =M7*L9+Q7*P9, O11 =M7*M9+Q7*Q9, Q11 =M7*N9+Q7*R9.

Вычисление весовых коэффициентов установленных сыном для университетов по двум критериям А_Д, В_Д и С_Д вычисляются в ячейках U11, W11 и Y11 по формулам:

U11 =U7*T9+Y7*X9, W11 =U7*U9+Y7*Y9, Y11 =U7*V9+Y7*Z9.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
52	R (дочь)	A	B	C
53	A	1	2,000	3,000
54	B	0,500	1	2,000
55	C	0,333	0,500	1
56	Сумма	1,833	3,500	6,000
57
58	Нормированная матрица
59	R (дочь)	A	B	C	wi		A x W
60	A	0,545	0,571	0,500	0,539	q11	1,625		CI	0,006
70	B	0,273	0,286	0,333	0,297	q12	0,894		RI	0,660
71	C	0,182	0,143	0,167	0,164	q13	0,492		CR	0,008
72						Sw	3,011			ДА
73	L (дочь)	A	B	C
74	A	1	3,000	2,000
75	B	0,333	1	0,200
76	C	0,333	5,000	1
77	Сумма	1,667	9,000	3,200
78
79	Нормированная матрица
80	L (дочь)	A	B	C	wi		A x W
81	A	0,600	0,333	0,625	0,519	q21	1,605		CI	0,063
82	B	0,200	0,111	0,063	0,125	q22	0,369		RI	0,660
83	C	0,200	0,556	0,313	0,356	q23	1,152		CR	0,095
84						Sw	3,126			ДА

Рис. 5.5. Получение весовых коэффициентов альтернатив по предпочтениям дочери

Наконец, полные весовые коэффициенты университетов А_Д, В_Д и С_Д, учитывающие веса мнений сына и дочери, вычисляются в ячейках P14, S14, V14, соответственно.

P14=O5*M11+U11*W5, S14=O5*O11+W5*W11, V14 =O5*Q11+W5*Y11.

Выбор университета производится по максимальному значению весового коэффициента в ячейке S17 с помощью формулы

=ЕСЛИ(МАКС(P28:V28)=P28;"A";ЕСЛИ(МАКС(P28:V28)=S28;"B";"C")).

Построенная модель позволяет произвести сложный выбор по результатам простейших парных сравнений, выражающих предпочтения по фундаментальной шкале. При изменении исходных матриц парных сравнений результат выбора также может изменяться.

Задание. Сделать выбор в условиях рассмотренной задачи при: p=0,5; p₁=0.17; p₁₁=0.123; p₁₂=0.277; p₂₁=0.545; p₂₂=0.273; q₁=0.3; q₁₁=0.2; q₁₂=0.3; q₂₁=0.5; q₂₂=0.2. Определить матрицы парных сравнений послужившие основой для указанных весовых коэффициентов.

	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
3								Уровень иерархии
4				Сын - p								Дочь - q
5				0,667				1-й				0,333
6		R - p1				L - p2				R - q1				L - q2
7		0,667				0,333		2-й		0,250				0,750
8	A - p11	B - p12	C - p13		A - p21	B - p22	C - p23		A - q11	B - q12	C - q13		A - q21	B - q22	C - q23
9	0,368	0,493	0,139		0,342	0,333	0,325	3-й	0,539	0,297	0,164		0,519	0,125	0,356
10		Ac		Bc		Cc				Aд		Вд		Сд
11		0,359		0,440		0,201				0,524		0,168		0,308
12
13					Aр			Bр			Cр
14					0,414			0,349			0,237
15
16							Выбранный университет
17								A

Рис. 5.6. Получение весовых коэффициентов альтернатив по предпочтени