5. Метод анализа иерархий

Модели линейного программирования являются примером принятия решений в условиях определенности. Эти модели применимы лишь в тех случаях, когда альтернативные решения можно сравнивать с помощью критерия, задаваемого линейной функцией. В этом разделе рассматривается иной подход к принятию решений в ситуациях, когда, например, для оценки ощущений и предпочтений определяются некоторые количественные показатели, задающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений. Этот подход известен как метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process).

Метод анализа иерархий (МАИ) является методом относительного измерения, и применяется для вывода относительных шкал, как из дискретных, так и из непрерывных парных сравнений в многоуровневых иерархических структурах. Сравнения могут производиться на основе реальных измерений или с помощью фундаментальной шкалы, которая отражает относительную силу предпочтений экспертов. МАИ допускает использование оценок отклоняющихся от полной согласованности, то есть в некоторой степени противоречащих друг другу. Поэтому предусматривается измерение рассогласованности сравнений. МАИ нашел широкое применение в задачах многокритериального принятия решений, стратегического планирования и распределения ресурсов, а также в задачах разрешения конфликтов.

В общем случае МАИ предназначен для анализа нелинейных причинно-следственных связей, и применяется для выполнения как дедуктивного, так и индуктивного вывода, а также для одновременного рассмотрения множества факторов с учетом взаимозависимостей и обратных связей между ними.

Многие проблемы принятия решений включают как физические, так и психологические признаки. Под физическими признаками подразумеваются те, которые представляют определенные свойства объектов, существующие независимо от того, кто проводит измерение. Напротив, психологические признаки представляют собой субъективные представления и оценки индивидуумов (специалистов или экспертов), выполняющих оценивание.

5.1. Терминология

Термин	Описание
Физический признак	Признак, представляющий определенные свойства объектов, существующее независимо от того, кто проводит наблюдение и измерение
Психологические признаки	Субъективные представления и оценки экспертов, выполняющих оценивание параметров объекта
Эксперт	Специалист в предметной области, суждение которого может приниматься в расчет для формирования сложного решения
Парное сравнение	Сравнение двух объектов по заданному признаку для установления степени предпочтения одного объекта другому
Абсолютная шкала измерений	Абсолютная шкала (или шкала отношений) это интервальная шкала, имеющая нулевую точку (точку отсчета). Например, количество автомобилей на стоянке, . В шкале отношений действует отношение "во столько-то раз больше". Нулевая точка характеризует отсутствие измеряемого качества. Данная шкала допускает преобразование подобия (умножение на константу). Определение нулевой точки — сложная задача для психологических признаков. С помощью таких шкал могут быть измерены масса, расстояние, сила, цена и т.д.
Фундаментальная шкала предпочтений	Шкала предпочтений, используемая для оценки уровня проявления предпочтения одного объекта по сравнению с другим. Используется в методе парных сравнений.
Матрица парных сравнений	Квадратная A матрица размерности (n×n), элементы которой отражают результаты попарных сравнений n элементов. Элемент aij равен отношению предпочтения i-го объекта j-му объекту. Это отношение измеряется по фундаментальной шкале. При этом если aij=k, то aij=1/k
Обратно симметричная матрица	Матрица парных сравнений является диагональной aii=1 (i=1,…,n) и обратно симметричной ( aij=1 / aji ).
Нормирование матрицы парных сравнений	Приведение матрицы к виду, при котором сумма элементов по каждому столбцу равна 1. Нормирование выполняется делением каждого элемента столбца на сумму элементов данного столбца.
Согласованность	Свойство матрицы парных сравнений, состоящее в том, что результат сравнения i-го и j-го элементов, и результат сравнения j-го и k-го элементов, позволяют получить результат сравнения i-го и k-го элементов. При отклонении от полной согласованности получение результата сравнения i-го и k-го элементов становится приблизительным.
Индекс несогласованности	Численный показатель отклонения матрицы парных сравнений от согласованного вида
Стохастический индекс несогласованности	Статистический численный показатель отклонения матрицы парных сравнений от согласованного вида, характеризующий случайным образом составленную матрицу. Такой индекс зависит только от порядка матрицы парных сравнений.
относительный индекс несогласованности	Численный показатель отклонения матрицы парных сравнений от согласованного вида, оценивающий степень несогласованности матрицы по сравнению со стохастическим индексом несогласованности.
Весовой коэффициент	Число из интервала [0,1], оценивающее приоритет (относительный вес) данной альтернативы среди общего набора альтернатив. Сумма весовых коэффициентов по всему набору альтернатив равна 1.

Существует два вида сравнений: абсолютные и относительные. При абсолютных сравнениях (измерениях) альтернативы сравниваются с некоторым эталоном, который используется в практической деятельности человека ( например, метр, используемый при измерении длины, грамм, используемый при измерении веса). При относительных сравнениях альтернативы сравниваются попарно друг с другом по некоторому общему признаку (например, по стоимости, по интенсивности цвета, по качеству).

Используемые шкалы измерений называются абсолютными и относительными шкалами измерений, соответственно. В МАИ используются оба типа сравнений для получения относительной шкалы.

Результат относительного измерения w_i, i= 1, ..., n, — это значение, с помощью которого каждый из n объектов оценивается по относительной шкале, построенной на основании парных сравнений объектов друг с другом. При парных сравнениях два объекта i и j сравниваются по общему свойству.

Оценка предпочтения объекта i, обладающего этим свойством, по отношению к объекту j, также обладающему этим свойством, но в другой степени, берется из фундаментальной шкалы абсолютных значений. Такая оценка становится ответом на вопрос «Во сколько раз объект i предпочтительнее объекта j ?»

Абсолютные измерения (оценки) применяются для оценивания объектов или альтернатив в терминах интенсивности проявления критерия. Примерами могут служить оценки: превосходный (А), очень хороший (В), хороший (С), средний (D), ниже среднего (E), плохой (F) и очень плохой (G).

Фундаментальная шкала

В МАИ процедура парного сравнения применяется к парам

однородных объектов. Действительно, если задать эксперту вопрос об относительном сравнении нескольких объектов, то ответить на такой вопрос тем сложнее, чем большее количество объектов сравнивается. Таким образом, самым простым, а следовательно, самым обоснованным будет сравнение всего двух объектов, то есть парное сравнение. Результаты парных сравнений в МАИ отражаются с помощью фундаментальной шкалы.

Фундаментальная шкала абсолютных значений для оценки силы суждений

приведена в табл. 5.1.

Численные значения абсолютной шкалы показывают во сколько раз i-я альтернатива предпочтительнее j-й альтернативы. Если предпочтительность i-й альтернативы по сравнению с j-й имеет значение k, то предпочтительность j-й альтернативы по сравнению с i-й имеет значение 1/k.

Таблица 5.1 Фундаментальная шкала

Степень предпочтения	Определение	Комментарии
1	Равная предпочтительность	Две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели
2	Слабая степень предпочтения	Промежуточная градация между равным и средним предпочтением
3	Средняя степень пред почтения	немного предпочтительнее
4	Предпочтение выше среднего	Промежуточная градация между средним и умеренно сильным предпочтением
5	Умеренно сильное предпочтение
6	Сильное предпочтение	Промежуточная градация между умеренно сильным и очень сильным предпочтением
7	Очень сильное (очевидное) предпочтение	гораздо предпочтительнее другой: доминирование альтернативы подтверждено практикой
8	Чрезвычайно сильное предпочтение	Промежуточная градация между очень сильным и абсолютным предпочтением
9	Абсолютное предпочтение	Очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет неоспоримое подтверждение

Эффективность этой шкалы была проверена во многих приложениях, а также путем сравнения с другими шкалами при решении практических задач, результаты которых были заранее известны. Числа из этой шкалы используются, чтобы показать, во сколько раз элемент с большей оценкой предпочтительности превосходит элемент с меньшей оценкой относительно выбранного критерия.

Экспертные суждения

На основании выданных экспертами абсолютных оценок предпочтений для системы из n объектов получается матрица парных сравнений, которая и служит основой для вычисления относительных оценок w_i, i= 1, ..., n.

Последовательность в суждениях экспертов проявляется в том, что относительные значения, полученные на основе матрицы парных сравнений должны быть согласованными. Например, если эксперт оценивает объект А в 3 раза выше, чем объект В, и в 6 раз выше, чем объект С, то при согласованности данных оценок, объект В должен оцениваться тем же экспертом в 2 раза выше, чем объект С. Однако оценки (парные сравнения), производимые экспертами получаются независимо друг от друга, возможно в разное время, и в произвольной последовательности для большой группы объектов. Таким образом оценка предпочтения объекта B по отношению к С может отличаться от значения 2, например, оказаться равной 3, или даже 4. При этом и возникает не полностью согласованная матрица парных сравнений.

Рассмотрим процедуру МАИ на примере задачи о выборе университета, как объекта сравнения по нескольким критериям.