4.1.4. Анализ чувствительности оптимального решения задачи лп

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежней программы работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом:

- лимитирующие ограничения проходят через оптимальную точку,

- нелимитирующие ограничения не проходят через оптимальную точку. Аналогично ресурс, представляемый лимитирующим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый нелимитирующим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение^1. Рассмотрим два вида анализа чувствительности:

- анализ чувствительности к изменению правой части ограничений (Каков диапазон изменения правых частей ограничений, при котором не изменяется оптимальное решение?)

- анализ изменения коэффициентов ЦФ (Каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не изменяется оптимальное решение?)

Анализ чувствительности к изменениям правых частей ограничений

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи 4.1 о производстве красок. ОДР задачи о красках (Рис. 4.3) моделируется многоугольником ABCDEF. В точке Е, соответствующей оптимальному решению, пересекаются прямые (1) и (2). Следовательно, ограничения (4.1) и (4.2) являются лимитирующими.

Рисунок 4.3 – Графическое решение задачи о красках

То, что ограничения (1) и (2) являются лимитирующими ограничениями означает, что при производстве красок по программе, соответствующей в точке E, запасы сырья А и В расходуются полностью и невозможно дальнейшее наращивание производства без увеличения запасов сырья.

Изменения правой части ограничения моделируется перемещение прямой, соответствующей данному ограничению параллельно себе самой. При этом остальные правые части считаются неизменными.

При перемещении линии ограничения (1) точка Е, моделирующая оптимальное решение, будет перемещаться вместе с прямой. При увеличении правой части ограничения (1) (x₁+2x₂≤6) до 7 прямая пройдет через точку (3,2), в которой пересекаются прямые ограничений (2) и (4). Эта точка и станет оптимальным решением. При дальнейшем увеличении правой части ограничения (1) оно перестанет быть лимитирующим и потеряет влияние на оптимальное решение.

При перемещении линии ограничения (2) точка Е также будет перемещаться вместе с прямой. При увеличении правой части ограничения (2) (2x₁+x₂≤8) до 12 прямая пройдет через точку (0,6), в которой пересекается прямая (1) и ось Ox₁. Эта точка станет оптимальным решением (при котором все производство будет пущено на краску 1-го вида). При дальнейшем увеличении правой части ограничения (2) оно перестанет быть лимитирующим и потеряет влияние на оптимальное решение.

Аналогично можно рассмотреть границы уменьшения правых частей лимитирующих ограничений (1) и (2), что предлагается проделать самостоятельно.

Ограничения (3) и (4) являются нелимитирующими, т.к. не проходят через оптимальную точку E (Рис 4.3). В реальной системе это означает, что при оптимальном плане производства незначительные изменения уровня спроса на краски не влияют на оптимальный режим производства в точке E.

На рис. 4.3. показано, что перемещение линии ограничения (3) (разница спроса на различные краски), соответствующее уменьшению разницы спроса сначала до 0, а затем и до отрицательной величины¹ (x₂ - x₁ = -2), приводит к тому, что это ограничение становится лимитирующим, то есть прямая проходит через точку Е. И дальнейшее уменьшение приводит к изменению оптимального решения. Аналогичный результат получается при смещении

линии ограничения (4) (x₂≤2) за счет уменьшения правой части ограничения до величины , при котором линия пройдет через точку Е.

Анализ чувствительности к изменению коэффициентов ЦФ

Проанализируем чувствительность оптимального решения задачи 4.1 к изменению коэффициентов целевой функции z(x) = 3x₁+ 2x₂.

ОДР задачи моделируется многоугольником ABCDEF (рис. 4.4)

Соотношение коэффициентов c₁ и c₂ задает направление градиента целевой функции z(x). На рис.4.4 представлен градиент соответствующий коэффициентам c₁=3 и c₂=2.

Рис.4.4. Изменение оптимальной вершины при изменении направления градиента ЦФ z(x)

При изменении цен, задающих коэффициенты c₁ и c₂, целевая функция будет изменяться, однако при незначительном изменении оптимальное решение задачи останется прежним, хотя значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению станет другим. Например, при снижении цены тонны краски 1-го вида с 3т.р. до 2 т.р., оптимальное решение задачи о красках при неизменных ограничениях останется прежним, то есть соответствующим вершине Е многоугольника ОДР. Программа выпуска останется соответствующей точке Е = то есть тонны краски 1-го вида и тонны краски 2-го вида, но при этом выручка сократится до т.р. Но при снижении этой цены до т.р. (c₁= ) оптимальными станут все точки отрезка ED, так как при этом градиент целевой функции, получившей вид z(x) = x₁+ 2x₂, станет перпендикулярным прямой линии ограничения (1). Следовательно, линия уровня станет параллельной прямой (1), что и определит оптимальность всех точек отрезка ED. При дальнейшем снижении первой цены, например, до 1 т.р. (c₁=1), оптимальной станет точка D=(2,2), что соответствует значению ЦФ равному т.р. Аналогично, изменяя соотношение коэффициентов ЦФ (один из них можно зафиксировать, так как конкретные значения коэффициентов влияют только на значение ЦФ, а направление градиента задается отношением c₁/c₂). Таким образом, можно геометрически определить направления градиента, при которых будет изменяться решение задачи (4.1). Круг, задающий «розу ветров» задачи о красках, изображен на рисунке 4.4. При направлении градиента ЦФ по направлениям, разделяющим круг на секторы, задача получает бесконечные множества оптимальных решений, а при нахождении градиента в каждом секторе «розы ветров» задача будет иметь оптимальное решение в вершине, указанной в данном секторе. Например, при c₁ = -1 и c₂= 2 оптимальной будет вершина С.

Заметим, что по смыслу задачи о красках коэффициенты, моделирующие цены не могут получать отрицательные значения. Однако в других задачах такого ограничения может не быть. Поэтому в данном примере рассмотрены все варианты соотношения коэффициентов, определяющего направление вектора градиента ЦФ. Варианты оптимальных решений в зависимости от знаков коэффициентов с₁ и с₂ и их отношения представлены в таблице 4.3.

Таблица 4.3 – Результаты анализа чувствительности к изменению коэффициентов ЦФ задачи о красках.

Коэффициент c1	Коэффициент с2	Интервал значений c1 / с2	Оптимальное решение
c1>0	c2>0	(2, ∞)	F
		{2}	Все точки отрезка EF
		(2/3, 2)	E
		{2/3}	Все точки отрезка DE
		(0, 2/3)	D
c10	c2>0	{0}	Все точки отрезка CD
		(-1, 0)	C
		{-1}	Все точки отрезка BC
		(-∞ , -1)	B
c1<0	c2=0		Все точки отрезка AB
c1<0	c2<0		A
c1≥0	c2<0	{0}	Все точки отрезка AF
c1>0	c2=0		F