4.1.3. Укрупненный алгоритм решения графическим методом

1) В ограничениях задачи (4.1) знаки неравенств заменяются на знаки равенств и строятся соответствующие прямые.

2) Находятся и выделяются полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (4.1). (Для этого подставляются в конкретное неравенство координаты точки (0,0), и проверяется выполнение рассматриваемого неравенства. Если неравенство выполнено, то выделяется полуплоскость, содержащая точку (0,0), иначе (если неравенство не выполнено) выделяется полуплоскость, не содержащая данную точку.)

Поскольку x₁ и x₂ должны быть неотрицательными, то допустимые значения всегда будут находиться в 1-м квадранте декартовой плоскости.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на прямой, моделирующей данное ограничение, поэтому на графике выделяются такие прямые.

3) Выделяется ОДР как часть плоскости, принадлежащая одновременно всем выявленным областям. При отсутствии такой области, то есть, когда ОДР оказывается пустым множеством, задача не имеет решений.

4) Если ОДР является непустым множеством, то строится линия уровня, задаваемая уравнением , где z₀ – произвольное заданное число не равное 0 (например, z₀ кратное c₁ и c₂ , т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

5) Строится вектор C=(c₁,c₂) , с началом в точке (0,0) . (Вектор C будет перпендикулярен линиям уровня.)

6) Для нахождения максимума целевой функции линия уровня передвигается параллельно самой себе в направлении вектора градиента C ( при поиске минимума – против направления вектора градиента C). Последняя вершина многоугольника ОДР, через которую пройдет линия уровня, является точкой, доставляющей максимум ЦФ (минимум ЦФ, в случае минимизации). Если такой точки не существует, то ЦФ неограниченна на множестве альтернатив сверху (при поиске максимума) или снизу (при минимума). Если линии уровня параллельны границе ОДР, проходящей через найденную точку, то все точки этой границы доставляют одинаковое экстремальное значение ЦФ, и, таким образом, множество оптимальных решений оказывается бесконечным.

7) Определяются координаты точки, оптимизирующей ЦФ:

x_опт =(x_1опт, x_2опт ).

Для вычисления координат точки x_опт решается система из двух уравнений прямых, на пересечении которых находится x_опт. На основании полученного результата вычисляется значение ЦФ в точке оптимума z(x_опт)

Пример решения

Найдем оптимальное решение классической задачи о красках, математическая модель, которой имеет вид:

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (Рис. 4.2).

(4.2)   (x₁=0, x₂=3) и (x₁=6, x₂=0)

(4.3)   (x₁=0, x₂=8) и (x₁=4, x₂=0)

(4.4)   (x₁=0, x₂=1) и (x₁=-1, x₂=0)

Прямая ограничения (4.5), проходит через точку (x₁=0, x₂=2) параллельно оси Оx₁.

Построение многоугольника ОДР.

Подставим точку (0,0) в исходное ограничение (4.4), получим 0 ≤1, что является истинным неравенством, поэтому штриховкой обозначим полуплоскость, содержащую точку (0,0), расположенную правее и ниже прямой ( ) (Рис. 4.2).

Аналогично определяем полуплоскости, состоящие из точек, допустимых для остальных ограничений. Обозначаем выявленные области штриховкой у прямых, моделирующих ограничения (Рис. 4.2). Общей областью, являющейся пересечением всех выявленных множеств оказывается многоугольник ABCDEF. Этот многоугольник представляет графическую модель ОДР.

Р исунок 4.2 – Графическое решение задачи о производстве красок

Линии уровня строим по уравнению , из которого получаем точки пересечения с осями координат:

 (x₁=0, x₂=3) и (x₁=2, x₂=0)

Строим вектор градиента ЦФ с началом в точке (0,0).

Точка Е оказывается последней вершиной многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит линия уровня, перемещаемая параллельно самой себе в направлении вектора градиента С. Поэтому Е является точкой максимума ЦФ. Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых, моделирующих ограничения (4.2) и (4.3):

.

Таким образом, Е=

Максимальное значение ЦФ равно .

Интерпретация полученных результатов позволяет принять управленческое решение, основанное на том, что наилучшим режимом работы фирмы является ежесуточное производство краски 1-го вида в объеме т и краски 2-го вида в объеме т. Результатом принятого решения будет максимизация получаемой выручки от продажи красок, которая составит тыс. р.