4.Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке.

Имеет место следущая теорема:

Пусть lim f (x) = A, x → x_0, lim φ (x) = B, x → x₀. Тогда

1. lim { f (x) + φ (x)} = lim f (x) + lim φ (x), когда x → x₀, = A+B (предел от алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов)

2. lim f (x) * φ (x), x → x₀, = lim f (x) * lim φ (x) , x →x₀ , = A*B

3. lim f (x)/ φ (x), x → x₀, = lim f (x) / lim φ (x), x → x₀, = A/B, B ≠ 0. ( предел частной равен частному пределов, если предел знаменателя не равен нулю)

Доказательство: По первому свойству б. м. величин

f (x) – A= α (x) – б. м.

φ (x) – B = β (x) – б. м.

f (x)= A + α (x)

φ (x) = B + β (x)

1. f (x) + φ (x) = A + α (x)

+ B + β (x) = A+B + α (x) + β (x) = A+ B + γ (x) → lim ( f (x) + φ (x)), x → x₀, = A+B.

2. f (x) * φ (x) = (A + α (x)) (B + β (x)) = AB + A β (x) + B α (x) + α (x) β (x) = AB + γ (x) → lim ( f (x) * φ (x)), x → x₀, = AB.

3. f (x) / φ (x) – A/B = (A+ α (x))/ (B + β (x)) – A/B = ( AB + B α (x) – AB + A β (x)) / B( B + β (x)) = 1/ B * 1/ (B + β (x)) * (B α (x) – A β (x)) = γ (x) / B * φ (x) – б. м. Lim f (x)/ φ (x), x → x₀, = A/B

5. Предельный переход в неравенстве.

Теорема 1. φ (x) ≤ f (x) ≤ g (x) ( x из окресности точки x₀) lim φ (x), x →x₀, = lim g (x), x → x₀, = A. Тогда lim f (x), x → x₀, = A.

Доказательство. Lim x_n = a, n → ∞, → AE> 0 E N₁ An> N₁ |n – a| < E или a – E < x_n< a +E

Lim z_n = a → AE>0 E N₂ A_n > N₂ | z_n – a| <Е или a – E< z_n< a +E

Беря N= max ( N₁, N₂) и учитывая что A n a – E< y_n< a +E можна записать A n>N

a – E < x _n ≤ y_n ≤ z_n < a +E. Выбрасывая лишние получим:

A n > N a – E ≤ y_n ≤ a +E или | y_n – a| ≤ E, что и говорит о том, что lim y_n = α.

Теорема 2.

A > 0.

Следствие f (x) > φ (x), тогда lim f (x), x → x₀, > lim φ (x), x → x₀.

6.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция f (x) называется непрерывной точке х₀ , если lim f (x), x → x₀, = f (x₀). Классификация точек:

1.

f ( x₀ – 0) = f ( x₀ + 0) = f (x) – функция непрерывна.

2.

f ( x₀ – 0) ≠ f ( x₀ + 0)

x₀ – точка неустранимого разрыва.

3.

f ( x₀ -0) = f (x₀ + 0) ≠ f (x₀)

x₀ – точка устранимого разрыва.

В последних 2-х случаях х₀ – точка разрыва первого рода.

4.

Если хотя бы один из пределов равнялся ∞, то х₀ – точка разрыва второго рода.

7.Формула для приращения функции. Непрерывность и дифференцируемость функции.

Теорема 1. Если функция f (x) в точке х₀ имеет производную, то приращение функции в этой точке представимо по формуле:

Δ y = f’ (x) * Δx + Δx * α (1), где α → 0, а Δх → 0.

Доказательство.

F ‘ (x₀) = lim Δ y/ Δ x, Δx → 0, →Δy/ Δx = f’ (x₀) + α → Δ y = f’(x₀) * Δx + α * Δx. Δy / Δx – f ‘ (x₀) = α – по 1- ому свойству бесконечно малых величин, это бесконечно малая величина, тоесть α →0, когда Δх →0.

Теорема 2. Если функция f (x) в точке х₀ имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. По 1-ой теореме приращения функции Δ y = f’ (x) * Δx + Δx * α и с которой следует: Δх → 0, Δy →0, тоесть б. м. прирощению аргумента соответствует б. м. прирощение функции, по определению это означает, что функция f (x) непрерывна в точке х₀.

Замечание: обратное утверждение неверно из того, что функция f (x) непрерывна в точке х₀ вовсе не следует существование производной в этой точке. Например, y = |x|

Δ y = f ( 0+ Δ x) – f (0) = | Δx|

Δ x →0 → Δy = | Δx | →0. Вместе с тем точки 0 не существует производной, в этой точке нельзя провести касательную.