1. Предел функции в точке. Предел слева, предел справа. Необходимое и достаточное условие существования пределя функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в окресности точки х₀, за исключением разве, что самой точки х₀. Постоянное число А называется пределом функции в точке х₀, если каково бы нибыло наперед заданное положительное число AE>0, которое может быть исколь угодно малым, найдется положительное число δ (E), такое что как-только:

0<|x – x₀|<δ → |f (x) – A|< E

Символически это записывается так: lim f (x) = A, когда х→x₀

lim f (x) = A, x → x₀,↔AE>0 E δ (E) >0:

0<|x – x₀|< δ →|f (x) – A| <E

Дадим геометрическую интерпретацию предела функции в точке:

0<|x –x₀|<δ ↔ - δ< x – x₀, x ≠ x₀ ↔ x₀ – δ< x < x₀+ δ, x ≠ x₀ → |f (x) – A|< E ↔ -E<f(x) – A<E → - E+A<f)(x)< E+A

Каково бы не была Е – окресность в точке А найдется δ-окресность в точке х₀, что для выколотой окресности точки х₀ (без самой точки х₀)значение функции попадает в Е-окресность точки А. Другими словами график функции для х из выколотой окресности точки х₀ находится в Е-плоскости точки А.

Постоянное число В называется пределом слева f (x) в точке х₀, если каково бы ни было наперед заданное положительное число

Е, которое может быть исколь угодно малым найдется положительное число δ зависищее от Е, такое что как только:

AE>0 E δ (E)>0 : x₀ – δ< x < x₀ → |f (x) – B|<E. lim f (x) = B= f (x₀-0),когда x → x₀-0

C – предел справа f (x) в точке х₀ ↔ AE<0 E δ (E) > 0: x₀< x < x₀+ δ →|f (x) – C| < E

Lim f (x) = C= f(x₀+0), когда х →x₀.

Дадим понятие о необходимом и достаточном условии. Пусть А- факт, В – условие. Говорят, что условие В необходимо для свершения факта А, если из факта следует условия и достаточным, если из выполнения условия следует сам факт.

Теорема. Для того, чтобы функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы она имела предел слева, справа и они равнялись между собой.

Необходимость. Пусть функция имеет предел, когда факт выполняется, по определению это означает:

Lim f (x) = A, когда х → x₀, ↔ AE >0 E δ (E)>0 : 0< |x - x₀| < δ → |f (x) – A| <E

[ 0< x – x₀< δ

[ - δ < x – x₀< δ → | f (x) – A| <0 →[x₀ < x< δ+x₀

[x₀ – δ <x < δ +x_{0 →} | f (x) – A|< E → f (x₀ +0) = A

f (x₀ – 0)=A → f (x₀+0) = f (x₀ – 0) = lim f(x),x →x_0.

Достаточность. Пусть выполняется условия:

f (x₀+0) = f (x₀ – 0) = А

Покажем, что существует предел функции в точке. По определению предела справа в точке х₀ имеем :

AE >0 E δ ₁ >0 : x₀<x < x₀+ δ → |f (x) – A| <E. По определению предела слева для того же самого Е :

δ ₂>0 : x₀ – δ ₂ < x < x₀ → |f (x) – A| <E

x₀ – δ ₂ x₀ x₀ + δ ₁

δ = min { δ ₁, δ ₂}

[ x₀ < x < x₀+ δ

[x₀ – δ < x < x₀ → |f (x) – A |<E

0 < |x – x₀|< δ → | f (x) – A| <E

А это означает по определению lim f (x ) = A, x →x₀

Отметим, если f (x) в точке х₀ имеет конечный предел то она в окресночти этой точки является функцией ограниченной. Действительно, по определнию предела

AE >0 E δ (E) >0 : 0< |x – x₀| <δ → |f (x)| - |A| → |f (x) – A| < E

|f (x) < |A| +E

А это означает, что f (x) ограничена в окресночти точки х₀. Отметим также следущий факт, если lim f (x) =A, x → x₀ и A ≠ 0, то

Φ (x) = 1/ f (x) – ограничена в точке х₀. Действительно по определению предела для любого наперед заданного числа, в качестве его возьмем

E = |A|/ 2>0 E δ >0 : x є ( x₀ – δ, x₀+ δ) → |A| - |f (x)| ≤ | f (x) – A| < |A| / 2 → | f (x)|> |A| - |A|/2 = |A|/2 → 1/| f (x)| = |1/ f (x)| = |φ (x)| < |A|/2.

φ (x) – ограничена в окресности точки х₀.